§1. Phương trình đường thẳng

a. phương trình tham số d có dạng : \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+4t\end{matrix}\right.\)

b. phương trình tham số d có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+5t\\y=3+t\end{matrix}\right.\)

a) Ta có = (2; -5). Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y - 4). Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ và cùng phương, cho ta:

= <=> 5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB.

Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0

phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0

b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.

= (3; 3) => ⊥ nên nhận vectơ = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0

3x + 3y - 15 = 0

=> x + y - 5 = 0

Gọi M là trung điểm BC ta có M \(\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo các viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:

AM : x + y - 5 = 0

ta có \(\overrightarrow{MN=}\left(-4;-1\right)\) là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm ( gọi là đường thẳng d )

Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng : \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4t\\y=-1-t\end{matrix}\right.\)( khi lấy điểm N là điểm đi qua)

hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=4-4t\\y=-t\end{matrix}\right.\)( khi lấy điểm M là điểm đi qua)

a) Xét hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x-10y+1=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\)

D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0

Vậy d₁ và d₂ cắt nhau

b) Tương tự, ta có: d₁ :\(12x-6y+10=0\) ;

d₂= \(2x-y-7=0\)

D = 12 . (-1) - (-6).2 = -12 + 12 = 0

Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0

Vậy d₁ // d₂

c) Tương tự, ta có d₁: \(8x+10y-12=0\)

d₂:\(4x+5y-6=0\)

D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0

Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0

D_y = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0

Vậy d₁ trùng d_2.

Ta có : \(MA=5\leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2=5^2\)

Thay tọa độ điểm x,y vào tham số t vào pt trên ta được :

\(\left(2+2t\right)^2+\left(3+t-1\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow4t^2+8t+4+4+4t+t^2=25\)

\(\Leftrightarrow5t^2+12t-17=0\rightarrow t_1=1;t_2=-\dfrac{17}{5}\)

Với \(t_1=1\), ta được điểm \(x=4;y=4\Rightarrow M_1\left(4;4\right)\)

Với \(t_2=-\dfrac{17}{5}\)ta được điểm \(x=-\dfrac{24}{5};y=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow M_2\left(-\dfrac{24}{5};-\dfrac{2}{5}\right)\)

Áp dụng công thức cos =

ta có cos =

=> cos = = = => = 45⁰

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là 45 độ.

Áp dụng công thức:

d(M_{0 ;}∆) = \(\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

a) d(M_{0 ;}∆) = \(\dfrac{\left|4\cdot3+3\cdot5+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{28}{5}\)

b) d(B _;d) = \(\dfrac{\left|3\cdot1-4\cdot\left(-2\right)-26\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=-\dfrac{15}{5}=\dfrac{15}{5}=3\)

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m : C ε m

Áp dụng công thức:

d(M_{0 ;}∆) =

a) d(M_{0 ;}∆) = =

b) d(B _;d) = = = = 3

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m : C ε m.

Giải :

Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆

R = d(C _;∆) =

=> R = = .