Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:

GHDH=13GHDG=23

nên DH−GHDH=3−23

Tức là: GHDH=13

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

Từ hình vẽ ta thấy: S, R là hai trung điểm của hai đoạn thẳng trong tam giác nên NS và MR là hai đường trung tuyến.

G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNS, do đó ta có thể điền:

Giải bài 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 32 + 42

BC2 = 25

BC = 5

Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = 12 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG =23 AM => AG =23.12 BC

=> AG = 13 BC = 13 .5 = 1.7cm

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC cân)

=> BM = CN

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau ở G

=> G là trọng tâm của tam giác

=> GB = BM; GC = CN

mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC

=> ∆GBC cân tại G => GCB^=GBC^

do đó ∆BCN = ∆CBM vì:

BC là cạnh chung

CN = BM (gt)

GCB^=GBC^ (cmt)

=> NBC^=MCB^ => ∆ABC cân tại A

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI => DIE^=DIF^

DIE^+DIF^ = 1800 ( kề bù)

nên DIE^=DIF^ = 900

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago)

=> DI2 = 132 – 52 = 144

=> DI = 12

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

ướng dẫn:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = 2323AM; GB = 2323BN; GC = 2323CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (3)

Hướng dẫn:

a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của ∆ABC

=> GA = AM

Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)

GG’ = AM

Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = BN

Mặt khác : GM = AG ( G là trọng tâm )

AG = GG’ (gt)

GM = GG’

M là trung điểm GG’

Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :

GM = MG’

MB = MC

=> BG' = CG

mà CG = CE (G là trọng tâm ∆ABC)

=> BG' = CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG' bằng đường trung tuyến của ∆ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG' với cạnh ∆ABC

ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG'

mà M là trung điểm của BC nên BM = BC

Vì IG = BG (I là trung điểm BG)

GN = BG ( G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG' = ∆NGA (cgc) => IG' = AN => IG' =

- Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG'

Vì GE = GC (G là trọng tâm ∆ABC)

=> GE = BG

mà K là trung điểm BG' => KG' = EG

Vì ∆GMC = ∆G'BM (chứng minh trên)

=> (lại góc sole trong)

=> CE // BG' => (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG'K (cgc) => AE = GK

mà AE = AB nên GK = AB

Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

GK+1/3CK;AG=2/1GM;GK=1/2CG;AM=3/2AG;

AM=3/1GM

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)