Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Vì AB < AC (gt) mà AB, AC là hai đường xiên có hai hình chiếu tương ứng là HB và HC nên HB > HC

Theo hình vẽ các điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng d và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng d. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, C và D

Ta có AB, AC, AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC, MD xuống d. Ta có ngay AD >AC > AB suy ra

MD > MC >MB > MA

Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi đươci xa hơn ngày hôm trước, tức là bạn Nam tập đúng mục đích đề ra

Giả sử ∆ABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB;

AM ≤ AC

+ Nếu M ≡ A hoặc M ≡ B ( Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB, AM = AC.

+ Nếu M nằm giữa B và C; ( M ≢ B , C). Gọi H là trung điểm của BC, mà ∆ABC cân tại A nên AH ⊥ BC

+ Nếu M ≡ H => AM ⊥ BC => AM < AB và AM < AC

+ Nếu M ≢ K giả sử M nằm giữa H và C=> MH < CH

Vì MN và CH là hình chiếu MA và CA trên đường BC nên MA < CA => MA < BA

Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B thì MA < AB, MA < AC

Vậy mọi giá trị của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB, AM ≤ AC

Trong bài này ta được khái niệm mới là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. Vì vậy muốn đi bề rộng của tấm gỗ chính xác là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với một trong hai cạnh song song của tấm gỗ. Cách đặt thước như trong hình là sai.

a) Trong hình vẽ BE < BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC và AE, AC là hai hình chiếu của chúng vì AE < AC nên BE < BC

b) EB và ED là hai đường xiên vẽ từ E đến AB

AB và AD là hai hình chiếu của chúng

Vì AD < AB nên DE < BE

Ta có: BE < BC và DE < BE nên DE < BC

Kẻ đường cao AH của ∆PQR

=> H là trung điểm của QR

=> HR =\(\dfrac{1}{2}\)( cm )

QR = 3( cm )

+ ∆PHR vuông tại H

nên PH² = PR² – HR² (định lý pytago)

PH² = 25- 9 = 16=> PH = 4cm

Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR. Vậy chắc chắn có một đường xiên PM = 4,5cm (vì PM = 4,5cm > 4cm) kẻ từ P đến đường thẳng QR.

∆PHM vuông góc tại H nên HM² = PM² – PH² (định lý pytago)

=> HM² = 20,25 – 16 = 4, 25

=> HM = 2,1cm

Vậy trên đường thẳng QR có hai điểm M như vậy thỏa mãn điều kiện HM = 2,1cm

Vì HM < HR => M nằm giữa H và R hay hai điểm này nằm trên cạnh QR, và nằm khác phía đối với điểm H

Hình chiếu của AN < hình chiếu của AC

=> đường xiên BN < đường xiên của BC (1)

Hình chiếu của AM < hình chiếu AB => đường xiên MN < đường xiên NB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

MN< BN< BC.

Điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD (1)

Điểm C nằm giữa B và E nên BD < BE (2)

Vì B, C, D, E thẳng hàng. Từ (1) và (2) suy ra

BC < BD < BE

Suy ra: AB < AC < AD < AE.

Kẻ AH vuông góc với BC

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó; ΔAHB=ΔAHC

Suy ra: HB=HC=BC/2=6(cm)

=>AH=8(cm)

Vì R=9cm nên cung tròn này cắt đường thẳng CB

Gọi D là giao điểm của (A;9cm) với BC

Vì AD<AC nên HD<HC

=>D nằm giữa H và C

hay cung tròn này cắt cạnh BC

Trong ∆ADE ta có

Nên AE < AD (1)

Trong ∆CFD ta có

Nên CF < CD (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

AE + CF < AD + CD

Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC

Vậy AE + CF < AC