Dựng hình thang ABCD (AB//CD), biết ba cạnh : AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5cm
Dựng đoạn thẳng CD = 4cm.
- Dựng hai đường tròn (C, 5cm) và (D, 2cm) cắt nhau tại A.
- Dựng đường tròn (C, 2cm) và đường tròn (A, 4cm) cắt nhau tại B.
Đường thẳng AB kéo dài cắt đường tròn (C, 2cm) tại điểm B' (ngoài điểm B đã kể ở trên)
Các tứ giác ABCD và AB'CD là những hình thang thỏa mãn đề bài.
Chứng minh: Vì B thuộc đường tròn (A, 4cm) nên AB = 4cm.
ΔABC = ΔDCA (AB = CD = 4cm, AD = BC = 2cm, AC chung) do đó góc BAC = góc DCA là cặp so le trong ta có: AB // CD.
Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2cm là hình thang thỏa mãn yêu cầu, AB'CD cũng là hình thang thỏa mãn yêu cầu vì AB' // CD, AD = 2cm, CD = 4cm, CB' = 2cm.
Tứ giác MBND là hình bình hành.
(MB// = ND)
Lại có MN // BC (vì MBCN là hình bình hành).
EK // CD (vì EK là đường trung bình của ∆CDM).
a) Để MENK là hình thoi thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là MN ⊥ EK.
Suy ra BC ⊥ CD.
Vậy ABCD phải là hình chữ nhật.
b) Để MENK là hình chữ nhật thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là MN = EK.
Mà MN = BC, EK = \(\dfrac{1}{2}\) CD suy ra:
BC = \(\dfrac{1}{2}\) CD.
c) Để MENK là hình vuông thì MENK phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật có:
\(BC=\dfrac{1}{2}DC\)
Tứ giác MBND là hình bình hành. (MB //= ND)
Lại có MN // BC (vì MBCN là hình bình hành). EK // CCD (vì EK là đường trung bình của ΔCDM).
Bài làm của bạn Đỗ Hương Giang ý thứ hai chưa chuẩn, Từ hệ thức:
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\) và góc A chung nên: tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp CGC. Từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau: \(\widehat{ABD}=\widehat{ACB}\)