Cho lăng trụ ABC.A'B'C'
a) Tính tỉ số \(\dfrac{V_{ACA'B'}}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
b) Tính \(V_{ACA'B'}\) biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng \(60^0\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng \(60^0\)
a) Tính thể tích hình chóp S.CDNM
b) Tính khoảng cách giữa DM và SC
Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = a
a) Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau
b) Tính \(V_{ABCD}\) theo a, b, c
c) Chứng minh rằng tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của tứ diện ABCD trùng nhau. Tính bán kính của các mặt cầu đó theo a, b, c
Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r \(\left(0< r< R\right)\) nội tiếp (H)
a) Tính tỉ số thể tích của (H') và (H)
b) Xác định r để (H') có thể tích lớn nhất
Cho 3 điểm \(A\left(1;2;1\right),B\left(2;-1;1\right),C\left(0;3;1\right)\) và đường d :
\(\dfrac{x}{-3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{2}\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với d sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P)
b) Tìm tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C
Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1+t'\\y=2t'\\z=-1+t'\end{matrix}\right.\) và \(M\left(2;-1;0\right)\)
a) Chứng minh rằng d và d' chéo nhau
b) Tìm tọa độ điểm A trên d và điểm B trên d' để M, A, B thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+2y-z+5=0\) và hai điểm \(A\left(-2;-1;1\right),B\left(6;6;5\right)\). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất ?
Gọi Q là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) thì phương trình của (Q) là \(\left(x+2\right)+2\left(y+1\right)-\left(z-1\right)=0\) hay \(x+2y-z+5=0\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q). Giả sử \(\Delta\) là đường thẳng qua A và song song với
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-19=0\) và mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-12=0\)
a) Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn
b) Tìm tọa đọ tâm và bán kính của đường tròn đó
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với \(A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),D\left(0;1;0\right),A'\left(0;0;1\right)\)
a) Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại
b) Chứng minh \(A'C\perp\left(BC'D\right)\)
c) Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D và BC'
Trong không gian Oxyz, cho \(S\left(0;0;2\right),A\left(0;0;0\right),B\left(1;2;0\right),C\left(0;2;0\right)\)
a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB
b) Tìm tọa độ của các điểm B' là giao của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC
c) Tính thể tích tứ diện SAB'C
d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P)
e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của các mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'
