Ôn tập cuối năm môn Đại số - Sách giáo khoa

Cách nhận biết đa thức

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Có nghiệm hay vô nghiệm

Lập \(\Delta\) ( đọc là delta )

\(\Delta=b^2-4ac\)

Nếu \(\Delta< 0\) : đa thức vô nghiệm

Nếu \(\Delta\ge0\) : đa thức có nghiệm

Nếu \(\Delta>0\) : đa thức có hai nghiệm

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2X+Y\ge1\left(1\right)\\X-3Y\le1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

*Giải 2X+Y-1=0

cho đi qua 2 điểm và thử điểm O(0;0) vào (1) và loại đi phần k thỏa mãn

*Tương tự giải X-3Y-1=0

*Lấy giao (1) và (2)

a)\(x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4 > x^3 > x^2 > x > 1 \)

\(⇒ 5x^4 > x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 5 \)

\(⇒ 5x^4 (x-1) > (x-1)( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 -1 > 5 (x-1) \)

b)\(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 = (x + y)(x^4 – x^3y + x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^3 + y^3) \)

\(= (x + y) [( x^4 – x^3y+ x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^2 – xy + y^2)] \)

\(= (x + y) [(x^4+2x^2y^2+y^4) - 2xy(x^2+y^2)] \)

\(= (x + y) (x - y)^2(x^2 + y^2) ≥ 0 \)

c)\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2\)

\(= 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \)

\( \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \)

\(\le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25\)

Chú ý rằng: sin45⁰ = cos45⁰, sin40⁰ = cos50⁰, sin50⁰ = cos40⁰

Ta được:

\(\dfrac{\cos50^0-\cos45^0+\cos50^0}{\cos40^0-\cos45^0+\cos50^0}-\dfrac{6\times3\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\tan15^0\right)}{3\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\tan15^0\right)}\)

\(=1-6\left(\dfrac{\tan30^0+\tan15^0}{1-\tan30^0\times\tan15^0}\right)\)

\(=1-6\tan45^0=-5\)

a)\(\eqalign{ & A\sin {x \over 5} = \sin {x \over 5}\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over 2}\sin {{2x} \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over 4}\sin {{4x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} = {1 \over 8}\sin {{8x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over {16}}\sin {{16x} \over 5} \cr} \)

Suy ra biểu thức rút gọn \(A =\sin{{16x} \over 5}:16\sin {x \over 5}\)

b)\(\eqalign{ & B = \sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7} = 2\sin {{3x} \over 7} + (\sin {x \over 7} + \sin {{5x} \over 7}) \cr & = 2\sin {{3x} \over 7} + 2\sin {1 \over 2}({{5x} \over 7} + {x \over 7})cos{1 \over 2}({{5x} \over 7} - {x \over 7}) \cr & = 2\sin {{3x} \over 7}(1 + \cos {{2x} \over 7}) = 4\sin {{3x} \over 7}{\cos ^2}{x \over 7} \cr}\)

a) f(x) = (x+2)(x-1)

f(x) > 0 với x < -2 hoặc x > 1

f(x) ≤ 0 với -2 ≤ x ≤ 1

b) y = 2x (x + 2) = 2(x+1)² – 2

Bảng biến thiên:

Hàm số :

Bảng biến thiên :

Đồ thị (C₁) và (C₂)

Hoành độ các giao điểm A và B của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình f(x) = 0 ⇔ x₁ = -2, x₂ = 1

⇔ A(-2, 0) , B(1, 6)

c) Giải hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac-b^2}{4a}\\a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+c=0\\a\left(1\right)^2+b\left(1\right)+c=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2,b=0,c=8\\a=-\dfrac{2}{9},b=\dfrac{16}{9},c=\dfrac{40}{9}\end{matrix}\right.\)

Nhân phương trình thứ nhất với -3 rồi cộng vào phương trình thứ hai.

Lại nhân phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình thứ ba thì được hệ:

(I) ⇔ (II)

Nhân phương trình thứ hai của hệ (II) với 17 rồi cộng vào phương trình thứ ba thì được:

(II) ⇔ (III)

Hệ phương trình (III) có dạng tam giác. Tìm giá trị các ẩn ngược từ dưới lên dễ dàng tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho:

(x, y, z) = (-1, 2, -2)

a) Tập xác định của f(x) :

A = {x ∈ R | x² + 3x + 4 ≥ 0 và -x² + 8x – 15 ≥ 0}

- x² + 3x + 4 có biệt thức Δ = 3² – 16 < 0

Theo định lí dấu của tam thức:

x² + 3x + 4 ≥ 0 ∀x ∈R

-x² + 8x – 15 = 0 ⇔ x₁ = 3, x₂ = 5

-x² + 8x – 15 > 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5 ⇒ A = [3, 5]

b) A/B = [3, 4]

R\(A\B) = (-∞, 3) ∪ (4, +∞)