Ôn tập chương IV

a) Hai số a và b cùng dấu.

b) Hai số a và b cùng dấu.

c) Hai số a và b trái dấu nhau.

d) Hai số a và b trái dấu nhau.

Suy luận D là chính xác

Khối lượng thực của vật nằm trong khoảng:

(26,4 - 0,05; 26,4 - 0,05) kg

hay (26,35; 26,35) kg

Vẽ đồ thị:

Ta có a,b,c > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

và \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Ta được: Vế trái \(\ge\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}+\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}+2\dfrac{\sqrt{ac}}{b}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{ab}\times2\sqrt{bc}\times2\sqrt{ac}}{abc}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8\sqrt{a^2b^2c^2}}{abc}\ge6}\) (Đpcm)

Vậy: \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)

Ta gọi các điều kiện của ẩn sốx để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định của bất phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của bất phương trình).

- Hai bất phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

+ Ta vẽ đường thẳng (d): ax+by=c

+ Chọn điểm M(x₀,y₀) ∉ (d) (thường là điểm (0,0)) và tính giá trị ax_{0 +} by₀

+ Nếu ax_{0 +} by₀>c thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M(x₀,y₀) là tập hợp các điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của bất phương trình.

+ Nếu ax_{0 +} by₀0,y₀) là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình.

Định lí. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

có biệt thức ∆ = b² – 4ac.

- Nếu ∆ < 0 thì với mọi x, f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = , với mọi x ≠ , f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ > 0, f(x) có 2 nghiệm x₁, x₂ (x₁ < x₂) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn [x₁; x₂] và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn (x₁; x₂).

Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b}\left(x,y>0\right)\) ta có:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge x+y\left(1\right)\), vậy ta cần chứng minh \(\left(1\right)\) đúng

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)