Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Giải

Giả sử ta có hình chóp S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SC = SD = ..., kẻ SH ⊥ (ABCD), ta chứng minh được △SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △... suy ra HA = HB = HC = HD = ... Đáy ABCD...., của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân H của đường cao SH là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao SH đều cách đều các đỉnh A, B, C, D của đáy. Trong tam giác SAH chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh SA, đường này cắt SH ở điểm I. Dễ thấy: IS = IA = IB = IC = ID = ... hay điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó I là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có: AD = AF $=>\; AB\; =\; AC$

BD = BE$=>$ BC = AB

$=>$ AB = BC = CA

$=>$ \(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và SM = SN = SP

$=>$ SM + AM = SN + NB

$=>$ SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) => HA = HB = HC

$=>$ H là tâm của tam giác đều ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.

a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)

Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)

=> HB = HC = HD

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích khối trụ là:

\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD)

Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm của cạnh SA

Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I , ta có: \(\Delta SAO\) đòng dạng \(\Delta SIH\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{SI}{SH}\Leftrightarrow SI=\dfrac{SA.SH}{SO}=\dfrac{SA^2}{2SO}\)

Mà \(SA^2=SO^2+OA^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Khi đó \(SI=\dfrac{3a^2}{\dfrac{4}{2.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{3a}{4}\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}IS=IA\\IA=IB=IC=ID\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC=ID=\dfrac{3a}{4}\)

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính \(R=SI=\dfrac{3a}{4}\)

Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=4\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{4}\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{16}\)

a, Diện tích của mặt cầu là: \(S_c=4\pi r^2\)

Diện tích xung quanh của mặt trụ là: \(S_t=2\pi rh=4\pi r^2\)

Vậy S_c = S_t

b, Thể tích của khối trụ là: \(V_t=\pi r^2h=2\pi r^2\)

Thể tích của khối cầu là: \(V_c=\dfrac{4}{3}\pi r^2\)

Vậy \(V_t=\dfrac{3}{2}V_c\)

Ta có : \(\dfrac{KM}{AA'}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{2}{3}h\)

Xét tam giác vuông IKM ta có : \(IM^2=IK^2+KM^2=\dfrac{3a^2}{9}+\dfrac{4h^2}{9}=\dfrac{3a^2+4h^2}{9}\)

Vậy :

\(IM=\dfrac{\sqrt{3a^2+4h^2}}{3}\)