Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
Xem hình 19 (hai dường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).
a) Biết \(\widehat{MAN}=30^o\), tính \(\widehat{PCQ}.\)
b) Nếu \(\widehat{PCQ}=136^o\) thì \(\widehat{MAN}\) có số đo là bao nhiêu?
Vận dụng định lí số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn, ta có:
a) \(\widehat{MAN}=30^O\Rightarrow\widehat{MBN}=60^O\Rightarrow\widehat{PCQ}=90^O\)
b) \(\widehat{PCQ}=136^O\Rightarrow\widehat{MBN}=68^O\Rightarrow\widehat{MAN}=34^O\)
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng eke thì phải làm như thế nào?
Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke ở hình trên. Tâm đường tròn chính là giao điểm của hai cạnh huyền của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn.
Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung trong như hình 20. Hãy so sánh các góc \(\widehat{PAQ},\widehat{PBQ},\widehat{PCQ}.\)
Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp ,
,
cùng chắn
cung PQ \(\Rightarrow\) =
=
.
Cho đường tòn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tòn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.
BM ⊥ SA ( =
vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tương tự, có: AN ⊥ SB
Như vậy BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm.
Suy ra SH ⊥ AB.
(Trong một tam giác ba đường cao đồng quy)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Nối B với 3 điểm A, C, D ta có:
=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy +
=
Suy ra ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?
Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.
Suy ra 
= 
(cùng chắn hai cung bằng nhau) nên tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng mính rằng ta luôn có: MA2 = MB.MC.
Ta có: ∆MAB~ ∆MCA ( =
;
=
)
nên =
Suy ra MA2 = MB. MC
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA. MB = MC.MD.
a) M ở bên trong đường tròn (hình a)
Xét hai tam giác MAB' và MA'B chúng có:
=
( đối đỉnh)
=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
Do đó ∆MAB' ~ ∆MA'B, suy ra:
=
, do đó MA. MB = MB'. MA'
b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)
∆MAB' ~ ∆MA'B
M chung =
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
Suy ra: =
hay MA. MB = MB'. MA'
Một chiếc cầu được thiết kế như trên hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.
Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là 
Theo bài tập 23, ta có:
KA. KB = KM. KN
hay KA. KB = KM. (2R - KM)
Thay số, ta có:
20. 20 = 3(2R - 3)
do đó 6R = 400 + 9 = 4099.
Vậy R = ≈688,2(mét)
a) Đúng (theo hệ quả a)
b) Sai, vì trong một đường tròn có thể có các góc nội tiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.