§3. Phương trình elip

a) Ta có: a² = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b² = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c² = a² – b² = 25 - 9 = 16 => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh A₁(-5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; -3), B₂(0; 3).

b)

4x² + 9y² = 1 <=> + = 1

a²= => a = => độ dài trục lớn 2a = 1

b² = => b = => độ dài trục nhỏ 2b =

c² = a² – b²

= - = => c =

F₁(- ; 0) và F₂( ; 0)

A₁(-; 0), A₂(; 0), B₁(0; - ), B₂(0; ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

=> + = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6. 2b = 4, c =\(\sqrt{5}\)

=> F₁(-\(\sqrt{5}\) ; 0) và F₂(\(\sqrt{5}\) ; 0)

A₁(-3; 0), A₂(3; 0), B₁(0; -2), B₂(0; 2).

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

+ = 1

a) Ta có a > b :

2a = 8 => a = 4 => a² = 16

2b = 6 => b = 3 => b² = 9

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng + = 1

b) Ta có: 2a = 10 => a = 5 => a² = 25

2c = 6 => c = 3 => c² = 9

=> b² = a² – c² => b² = 25 - 9 = 16

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng + = 1.

Phương trình chính tắc của elip có dạng: + = 1

a) Elip đi qua M(0; 3):

+ = 1 => b² = 9

Elip đi qua N( 3; ):

+ = 1 => a² = 25

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1

b) Ta có: c = √3 => c² = 3

Elip đi qua điểm M(1; )

+ = 1 => + = 1 (1)

Mặt khác: c² = a² – b²

=> 3 = a² – b² => a² = b² + 3

Thế vào (1) ta được : + = 1

<=> a² = 4b² + 5b² – 9 = 0 => b²= 1; b² = ( loại)

Với b²= 1 => a² = 4

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1.

Ta có: 2a = 80 => a = 40

2b = 40 => b = 20

c² = a² – b² = 1200 => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm F₁ , F₂ và cách mép ván:

F₂A = OA – OF₂ = 40 - 20√3

=> F₂A = 20(2 - √3) ≈ 5,4cm

Chu vi vòng dây bằng: F₁.F₂+ 2a = 40√3 + 80

=> F₁.F₂ + 2a = 40(2 + √3)

F₁.F₂ + 2a ≈ 149,3cm

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C₁ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₁ = R₁+ R (1)

(C) và C₂ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₂ = R₂ – R (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được

MF₁ + MF₂ = R₁+ R₂= R không đổi

Điểm M có tổng các khoảng cách MF₁ + MF₂ đến hai điểm cố định F₁ và F₂ bằng một độ dài không đổi R₁+ R₂

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F₁ và F₂ và có tiêu cực :

F_{1 .}F₂ = R₁+ R₂

a) \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\)

b) \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\)

\(C\left(M;R\right)\) đi qua \(F_2\Rightarrow MF_2=R\) (1)

\(C\left(M;R\right)\) tiếp xúc trong với \(C_1\left(F_1;2a\right)\Rightarrow MF_1=2a-R\) (2)

(1) + (2) cho \(MF_1+MF_2=2a\)

Vậy M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm là \(F_1,F_2\) và trục lớn \(2a\)

điểm M di động trên elip (E) có phương trình \(\dfrac{x^2}{49}+\dfrac{y^2}{25}=1\)