Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

a) 4x² + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, b' = 2, c = 1

∆' = 2² – 4 . 1 = 0: Phương trình có nghiệm kép

x₁ = x₂ = =

b) 13852x² – 14x + 1 = 0 có a = 13852, b = -14, b’ = -7, c = 1

∆’ = (-7)² – 13852 . 1 = 49 – 13852 < 0

Phương trình vô nghiệm.

c) 5x² – 6x + 1 = 0 có a = 5, b = -6, b’ = -3, c = 1

∆’ = (-3)² – 5 . 1 = 4, √∆’ = 2

x₁ = = 1; x₂ = =

d) -3x² + 4√6x + 4 = 0 có a = -3, b = 4√6, b’ = 2√6, c = 4.

∆’ = (2√6)² – (-3) . 4 = 24 + 12 = 36, √∆’ = 6

X₁ = = ;, x₂ = =

Bài giải:

a) 3x² – 2x = x² + 3 ⇔ 2x² – 2x - 3 = 0.

b’ = -1, ∆’ = (-1)² – 2 . (-3) = 7

x_{1 = ≈} 1, 82; x₂ = ≈ -0,82

b) (2x - √2)² – 1 = (x + 1)(x – 1) ⇔ 3x² - 4√2 . x + 2 = 0 . b’ = -2√2

∆’ = (-2√2)² – 3 . 2 = 2

x₁ = = √2 ≈ 1,41; x₂ = = ≈ 0,47.

c) 3x² + 3 = 2(x + 1) ⇔ 3x² – 2x + 1 = 0.

b’ = -1; ∆’ = (-1)² – 3 . 1 = -2 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)² ⇔ 0,5x² – 2,5x + 1 = 0

⇔ x² – 5x + 2 = 0, b’ = -2,5; ∆’ = (-2,5)² – 1 . 2 = 4,25

x₁ = 2,5 + √4,25 ≈ 4,56, x₂ = 2,5 - √4,25 ≈ 0,44

(Rõ ràng trong trường hợp này dung công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)

Khi a > 0 và phương trình vô nghiệm thì b² – 4ac < 0.

Do đó: > 0

Suy ra: ax² + bx + c = a > 0, với mọi x.

a) 25x² – 16 = 0 ⇔ 25x² = 16 ⇔ x² =

⇔ x = ± = ±

b) 2x² + 3 = 0: Phương trình vô nghiệm vì vế trái là 2x² + 3 ≥ 3 còn vế phải bằng 0.

c) 4,2x² + 5,46x = 0 ⇔ 2x(2,1x + 2,73) = 0

=> x = 0

Hoặc 2,1x + 2,73 = 0 => x = -1,3

d) 4x² - 2√3x = 1 - √3 ⇔ 4x² - 2√3x – 1 + √3 = 0

Có a = 4, b = -2√3, b’ = -√3, c = -1 + √3

∆’ = (-√3)² – 4 . (-1 + √3) = 3 + 4 - 4√3 = (2 - √3)², √∆’ = 2 - √3

x₁ = = , x₂ = =

a) x² = 12x + 288 ⇔ x² - 12x + 288 = 0

∆’ = (-6)² – 1 . (-288) = 36 + 288 = 324

√∆’ = 18

x₁ = 6 + 18 = 24, x₂ = 6 – 18 = -12

b) x² + x = 19

⇔ x² + 7x – 228 = 0, ∆ = 49 – 4 . (-228) = 49 + 912 = 961 = 31²

x₁ = = 12, x₂ = = -19

Khi phương trình ax² + bx + c = 0 có a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0; hơn nữa b² ≥ 0. Do đó ∆ = b² – 4ac > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) Phương trình 15x² + 4x – 2005 = 0 có a = 15, c = -2005 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình x² - √7x + 1890 = 0 có a = và c = 1890 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a) Khi t = 5 (phút) thì v = 3 . 5² – 30 . 5 + 135 = 60 (km/h)

b) Khi v = 120 (km/h), để tìm t ta giải phương trình 120 = 3t² – 30t + 135

Hay t² – 10t + 5 = 0. Có a = 1, b = -10, b’ = -5, c = 5.

∆’ = 5² – 5 = 25 – 5 = 20, √∆’ = 2√5

t₁ = 5 + 2√5 ≈ 9,47, t₂ = 5 - 2√5 ≈ 0,53

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cả hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy t₁ ≈ 9,47 (phút), t₂ ≈ 0,53 (phút).

a) x² – 2(m – 1)x + m² = 0 có a = 1, b = -2(m - 1), b' = -(m - 1), c = m²

∆' = [-(m - 1)]² – m² = m² – 2m + 1 – m² = 1 – 2m

b) Ta có ∆’ = 1 – 2m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 – 2m > 0 hay khi m < \(\dfrac{1}{2}\)

Phương trình vô nghiệm khi m > \(\dfrac{1}{2}\)

Phương trình có nghiệm kép khi m = \(\dfrac{1}{2}\).