Chương 4: GIỚI HẠN - Sách giáo khoa

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a) \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-2}{x-\sqrt{2}};\left(x\ne\sqrt{2}\right)\\2\sqrt{2};\left(x=\sqrt{2}\right)\end{matrix}\right.\)

b) \(g\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-x}{\left(x-2\right)^2};\left(x\ne2\right)\\3;\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\)

Chứng minh rằng phương trình \(x^5-3x^4+5x-2=0\) có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left(-2;5\right)\) ?

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\)

Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) ?

Dùng kết quả của câu 1.7 để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau :

a) \(u_n=\dfrac{1}{n!}\)

b) \(u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n-1}\)

c) \(u_n=\dfrac{2-n\left(-1\right)^n}{1+2n^2}\)

d) \(u_n=\left(0,99\right)^n\cos n\)

e) \(u_n=5^n-\cos\sqrt{n}\pi\)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits\dfrac{6n-1}{3n+2}\)

b) \(\lim\limits\dfrac{3n^2+n-5}{2n^2+1}\)

c) \(\lim\limits\dfrac{3^n+5.4^n}{4^n+2^n}\)

d) \(\lim\limits\dfrac{\sqrt{9n^2-n+1}}{4n-2}\)

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{x^2+2x-3}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+x\right)^3-1}{x}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}\)

g) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

h) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-2x+3x^3}{x^3-9}\)

i) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{x^2+1}-1\right)\)

j) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(1-2x\right)^5}{x^7+x+3}\)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x+3}{x^2+x+4}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+3x}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow4^-}\dfrac{2x-5}{x-4}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^3+x^2-2x+1\right)\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3}{3x-1}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}-x}{3x-1}\)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{4-\sqrt{x^2+16}}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^4+5x-1}{1-x^2+x^4}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+\sqrt{4x^2-x+1}}{1-2x}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(\dfrac{1}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Giả sử hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\) đều liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) và \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\). 

Chứng minh rằng phương trình \(f\left(x\right)-f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\) ?

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\)

b) \(m\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=2\sin5x+1\)

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^2-1}{x+1}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{4-x^2}{x+2}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow6}\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x-6}{4-x}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{17}{x^2+1}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^2+x-1}{3+x}\)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+2},\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh rằng \(u_n>0\) với mọi \(n\)

b) Biết \(\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó ?

Cho hàm số :

             \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{x^3-1},\left(x>1\right)\\mx+2,\left(x\le1\right)\end{matrix}\right.\)

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số \(f\left(x\right)\) có giới hạn \(x\rightarrow1\). Tìm giới hạn này ?

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131....(chu kì 131) dưới dạng phân số ?

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3+8x+1}{x-2}\)

Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm hay không :

a) trong khoảng \(\left(1;3\right)\) ?

b) trong khoảng \(\left(-3;1\right)\) ?