Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai, hỏi đáp

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

Bài 34 (SGK trang 56)

Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ - 5x² + 4 = 0; b) 2x⁴ - 3x² - 2 = 0; c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

a) x⁴ – 5x²+ 4 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1, t₂ = 4

Nên: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -2, x₄ = 2.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 2t² – 3t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = $-\frac{1}{2}$ (loại)

Vậy: x₁ = √2; x₂ = -√2

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 3t² + 10t + 3 = 0; t₁ = -3(loại), t₂ = $-\frac{1}{3}$ (loại)

Phương trình vô nghiệm.

Bài 35 (SGK trang 56)

Giải các phương trình:

a) $\dfrac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3}+2=x\left(1-x\right);$ b) $\dfrac{x+2}{x-5}+3=\dfrac{6}{2-x};$

c) $\dfrac{4}{x+1}=\dfrac{-x^2-x+2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}.$

Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

a) $\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}$ + 2 = x(1 - x)

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0; ∆ = 57

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ , x₂ = $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

b) $\frac{x+ 2}{x-5}$ + 3 = $\frac{6}{2-x}$ . Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x²^–3x² + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x² – 15x – 4 = 0

∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17

x₁ = $-\frac{1}{4}$ , x₂ = 4

c) $\frac{4}{x-1}$ = $\frac{-x^{2}-x+2}{(x+1)(x+2)}$ . Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2

Phương trình tương đương: 4(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = 2 – x² – x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

Giải ra ta được: x₁ = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.

Bài 36 (SGK trang 56)

Giải các phương trình:

a) (3x² - 5x + 1)(x² - 4) = 0; b) (2x² + x - 4)² - (2x - 1)² = 0.

Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

=> 3x² – 5x + 1 = 0 => x = $\frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

hoặc x² – 4 = 0 => x = ±2.

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 + 2x – 1)(2x² + x – 4 – 2x + 1) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² – x – 3) = 0

=> 2x² + 3x – 5 = 0 hoặc 2x² – x – 3 = 0

X₁ = 1; x₂ = -2,5; x₃ = -1; x₄ = 1,5

Bài 37 (SGK trang 56)

Giải các phương trình trùng phương:

a) $9x^4-10x^2+1=0;$ b) $5x^4+2x^2-16=10-x^2;$

c) $0,3x^4+1,8x^2+1,5=0;$ d) $2x^2+1=\dfrac{1}{x^2}-4.$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a, Đặt $x^2=t\left(t\ge0\right)$
Phương trình đã cho trở thành: $9t^2-10t+1=0$ (1)
Có a+b+c = 9 -10 +1 =0
=> Pt (1) có nghiệm: $t_1=1;t_2=\dfrac{1}{9}$( TMĐK của t )
Với $t_1=1$ ta có $x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1$
Với $t_2=\dfrac{1}{9}$ ta có $x^2=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{3}$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S={-1;1;1/3;-1/3}

b, Pt $\Leftrightarrow5x^4+3x^2-26=0$ (2)
Đặt $x^2=t\left(t\ge0\right)$
Pt (2) trở thành: $5t^2+3t-26=0$
$\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(5t+13\right)=0$
$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TMĐK\right)\\t=-\dfrac{13}{5}\left(KTMĐK\right)\end{matrix}\right.$
Với t=2 ta có: $x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$
Vậy pt đã cho có nghiệm $x=\pm\sqrt{2}$

c, Pt $\Leftrightarrow3x^4+18x^2+15=0$ (3)
Đặt $x^2=t\left(t\ge0\right)$
Khi đó pt (3) trở thành: $3t^2+18t+15=0$
$\Leftrightarrow t^2+6t+5=0$
$\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t+5\right)=0$
$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=-5\end{matrix}\right.$ ( Không TMĐK)
Vậy pt đã cho vô nghiệm

d, ĐK: $x\ne0$
Pt $\Leftrightarrow\dfrac{2x^3+x^2-1+4x^2}{x^2}=0$
$\Rightarrow2x^3+5x^2-1=0$
$\Leftrightarrow x^2\left(2x+1\right)+2x\left(2x+1\right)-\left(2x+1\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0$
$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\x=-1\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.$( TMĐK )
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là $S=\left\{-\dfrac{1}{2};-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right\}$

Bài 38 (SGK trang 56)

Giải các phương trình: a) (x - 3)2 + (x + 4)2 23 - 3x; b) x3 + 2x2 - (x - 3)2 (x - 1)(x2 - 2); c) (x - 1)3 + 0,5x2 x(x2 + 1,5); d) dfrac{xleft(x-7right)}{3}-1dfrac{x}{2}dfrac{x-4}{3}; e) dfrac{14}{x^2-9}1-dfrac{1}{3-x}; f) dfrac{2x}{x+1}dfrac{x^2-x+8}{left(x+1right)left(x-4right)}.

Đọc tiếp

Giải các phương trình:

a) (x - 3)² + (x + 4)² = 23 - 3x; b) x³ + 2x² - (x - 3)² = (x - 1)(x² - 2);

c) (x - 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5); d) $\dfrac{x\left(x-7\right)}{3}-1=\dfrac{x}{2}=\dfrac{x-4}{3};$

e) $\dfrac{14}{x^2-9}=1-\dfrac{1}{3-x};$ f) $\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{x^2-x+8}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}.$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x ⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

∆ = 25 – 16 = 9

x₁ = -2, x₂ = $-\frac{1}{2}$

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 = x³ – x² – 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x – 11 = 0

∆’ = 16 + 22 = 38

x₁ = $\frac{-4 + \sqrt{38}}{2}$ , x₂ = $\frac{-4 - \sqrt{38}}{2}$

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

⇔ 5x² – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm

d) $\frac{x(x - 7)}{3}$ – 1 = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x-4}{3}$

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

x₁ = $\frac{15+ \sqrt{337}}{4}$ , x₂ = $\frac{15- \sqrt{337}}{4}$

e) $\frac{14}{x^{2}-9}$ = 1 - $\frac{1}{3-x}$ . Điều kiện: x ≠ ±3

Phương trình được viết lại: $\frac{14}{x^{2}-9}$ = 1 + $\frac{1}{x- 3}$

⇔ 14 = x² – 9 + x + 3

⇔ x² + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81

√∆ = 9

Nên x₁ = $\frac{-1-9}{2}$ = -5; x₂ = $\frac{-1+9}{2}$ = 4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = -5, x₂ = 4.

f) $\frac{2x}{x+1}$ = $\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}$ . Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

Phương trình tương đương với:

2x(x – 4) = x² – x + 8 ⇔ 2x² – 8x – x² + x – 8 = 0

⇔ x² – 7x – 8 = 0

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x₁ = -1, x₂ = 8

Vì x₁ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.

Bài 39 (SGK trang 57)

Giải các phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $\left(3x^2-7x-10\right)\left[2x^2+\left(1-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}-3\right]=0;$

b) $x^3+3x^2-2x-6=0;$

c) $\left(x^2-1\right)\left(0,6x+1\right)=0,6x^2+x;$

d) $\left(x^2+2x-5\right)^2=\left(x^2-x+5\right)^2.$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) (3x² - 7x – 10)[2x² + (1 - √5)x + √5 – 3] = 0

=> hoặc (3x² - 7x – 10) = 0 (1)

hoặc 2x² + (1 - √5)x + √5 – 3 = 0 (2)

Giải (1): phương trình a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0

nên

x₁ = - 1, x₂ = $-\frac{-10}{3}$ = $\frac{10}{3}$

Giải (2): phương trình có a + b + c = 2 + (1 - √5) + √5 - 3 = 0

nên

x₃= 1, x₄= $\frac{\sqrt{5}-3}{2}$

b) x³ + 3x²– 2x – 6 = 0 ⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x² - 2) = 0

=> hoặc x + 3 = 0

hoặc x² - 2 = 0

Giải ra x₁ = -3, x₂ = -√2, x₃= √2

c) (x² - 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x ⇔ (0,6x + 1)(x² – x – 1) = 0

=> hoặc 0,6x + 1 = 0 (1)

hoặc x² – x – 1 = 0 (2)

(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0

⇔ x₂ = $-\frac{1}{0,6}$ = $-\frac{5}{3}$

(2): ∆ = (-1)² – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5

x₃ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ , x₄ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy phương trình có ba nghiệm:

x₁ = $-\frac{5}{3}$ , x₂ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ , x₃ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ,

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)² ⇔ (x² + 2x – 5)² - ( x² – x + 5)² = 0

⇔ (x² + 2x – 5 + x² – x + 5)( x² + 2x – 5 - x² + x - 5) = 0

⇔ (2x² + x)(3x – 10) = 0

⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0

Hoặc x = 0, x = $-\frac{1}{2}$ , x = $\frac{10}{3}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

x₁ = 0, x₂ = $-\frac{1}{2}$ , x₃ = $\frac{10}{3}$

Bài 40 (SGK trang 57)

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) $3\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)-1=0;$

b) $\left(x^2-4x+2\right)^2+x^2-4x-4=0;$

c) $x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7;$

d) $\dfrac{x}{x+1}-10.\dfrac{x+1}{x}=3.$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = $-\frac{1}{3}$

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

x₁ = $\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}$ , x₂ = $\frac{-1- \sqrt{5}}{2}$

Với t₂ = $-\frac{1}{3}$ , ta có: x² + x = $-\frac{1}{3}$ hay 3x² + 3x + 1 = 0:

Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = $\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}$ , x₂ = $\frac{-1- \sqrt{5}}{2}$

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có phương trình t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

- Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

- Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x - √x = 5√x + 7 ⇔ x - 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

d) $\frac{x}{x+ 1}$ – 10 . $\frac{x+1}{x}$ = 3. Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 0

Đặt $\frac{x}{x+ 1}$ = t, ta có: $\frac{x+1}{x}$ = $\frac{1}{t}$ . Vậy ta có phương trình: t - $\frac{10}{t}$ – 3 = 0

hay: t² – 3t – 10 = 0. Suy ra t₁ = 5, t₂ = -2.

- Với t₁ = 5, ta có $\frac{x}{x+ 1}$ = 5 hay x = 5x + 5. Suy ra x = $-\frac{5}{4}$

- Với t₂ = -2, ta có $\frac{x}{x+ 1}$ = -2 hay x = -2x – 2. Suy ra x = $-\frac{2}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = $-\frac{5}{4}$ , x₂ = $-\frac{2}{3}$

Bài 45 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình :

a) $\left(x+2\right)^2-3x-5=\left(1-x\right)\left(1+x\right)$

b) $\left(x-1\right)^3+2x=x^3-x^2-2x+1$

c) $x\left(x^2-6\right)-\left(x-2\right)^2=\left(x+1\right)^3$

d) $\left(x+5\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(x+7\right)\left(x-7\right)=12x-23$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình :

a) $\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1$

b) $\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3$

c) $\dfrac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-3}$

d) $\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$

Hướng dẫn giải Thảo luận (2)

a) $\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1$

$\Leftrightarrow$ $x^2-1=4x+20$ $\Leftrightarrow$ $x^2-4x-21=0$

giải pt ta có 2 nghiệm : $x_1=7;x_2=-3$

vậy phương trình có 2 nghiệm $x=7;x=-3$

b) $\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3$

$\Leftrightarrow$ $3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74$

$\Leftrightarrow$ $-3x^2+12x-9=14x-74$

$\Leftrightarrow$ $3x^2-2x-65=0$

giải pt ta có 2 nghiệm : $x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}$

vậy phương trình có 2 nghiệm $x=5;x=\dfrac{-13}{3}$

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 59)

Giải các phương trình : a) dfrac{12}{x-1}-dfrac{8}{x+1}1 b) dfrac{16}{x-3}+dfrac{30}{1-x}3 c) dfrac{x^2-3x+5}{left(x-3right)left(x+2right)}dfrac{1}{x-3} d) dfrac{2x}{x-2}-dfrac{x}{x+4}dfrac{8x+8}{left(x-2right)left(x+4right)} e) dfrac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}dfrac{x^2-x+16}{x^2+x+1} f) dfrac{x^2+9x-1}{x^4-1}dfrac{17}{x^3+x^2+x+1}

Đọc tiếp

Giải các phương trình :

a) $\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1$

b) $\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3$

c) $\dfrac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-3}$

d) $\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$

e) $\dfrac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}=\dfrac{x^2-x+16}{x^2+x+1}$

f) $\dfrac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\dfrac{17}{x^3+x^2+x+1}$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) $\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1$

$\Leftrightarrow$ $x^2-1=4x+20$ $\Leftrightarrow$ $x^2-4x-21=0$

giải pt ta có 2 nghiệm : $x_1=7;x_2=-3$

vậy phương trình có 2 nghiệm $x=7;x=-3$

b) $\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3$

$\Leftrightarrow$ $3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74$

$\Leftrightarrow$ $-3x^2+12x-9=14x-74$

$\Leftrightarrow$ $3x^2-2x-65=0$

giải pt ta có 2 nghiệm : $x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}$

vậy phương trình có 2 nghiệm $x=5;x=\dfrac{-13}{3}$

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Câu hỏi

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)