Bài 6: Cung chứa góc

Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có;

\(\widehat{I_2}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}\) (1)

\(\widehat{I_2}=\widehat{A_2}+\widehat{C_1}\) (2)

Cộng vế (1) và (2) vế với vế:

\(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\)

Hay \(\widehat{I}=90^o+45^o=135^o\)

Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135^o không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung chứa góc 135^o dựng trên đoạn thẳng BC

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90^o. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Trình tự dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

- Dựng góc = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: là cung chứa góc 55^odựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)

M1 là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 550 (hình a).

Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M₁A, M₁B với cung tròn. Vì góc AM₁B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: góc AM₁B = sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 + sđcung A’B’/2 = 55⁰+ (một số dương) Vậy góc AM₁B > 55⁰

b)

M2 là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), M₂A, M₂B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì góc AM₂B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: góc AM₂B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 55⁰ – (một số dương)

Vậy góc AM₂B < 55⁰

- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính BA. Tiếp tuyến BA vuông góc với bán kính BT tại tiếp điểm T.

Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính lớn hơn BA: quỹ tích là tập hợp rỗng.

Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán

a) Vì = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có tg = = => = 26^o34’

Vậy không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg = = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung và

Ta có: = 2 = 2.60^o = 120^o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và = (đối đỉnh)

mà = 180^o - = 180^o - 60^o = 120^o

nên = 120^{o (2)}

= +

= 60^o + = 60^o+ 60^o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó = 120^o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ. Gọi H là trung điểm PQ, \(\widehat{PMH}=\alpha\)

Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông MHP, ta có:

tg\(\alpha\) = \(\dfrac{3,66}{11}\approx\) 0,333 => \(\alpha\)= 18^o36’.

Vậy góc sút phạt đền là 2α \(\approx\)37^o12'