Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm ?
Cho cấp số nhân có \(u_1< 0\) và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau :
a) \(q>0\)
b) \(q< 0\)
Ta có: un= u1.qn-1
a) Nếu
\(\left\{{}\begin{matrix}q>0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow u_n< 0\forall n\)
b) Nếu
\(\left\{{}\begin{matrix}q< 0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\)
Thì un < 0 khi n – 1 chẵn và un > 0 khi n – 1 lẻ.
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?
Gọi (un) và (an) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d2 và có cùng n số hạng.
Ta có:
un = u1 + (n -1) d1
an = a1 + (n – 1)d2
⇒ un + an = u1 + a1 + (n – 1).(d1 + d2)
Vậy un + an là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 + a1 và công sai là d1 + d2
Ví dụ:
1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d1 = 2
0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d2 = 5
⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7
Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :
a) \(13^n-1\) chia hết cho 6
b) \(3n^3+15n\) chia hết cho 9
a) Với n = 1, ta có:
13n – 1 = 131 – 1 = 12 ⋮ 6
Giả sử: 13k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1
Ta chứng minh: 13k+1 – 1 chia hết cho 6
Thật vậy:
13k+1 – 1 = 13k+1 – 13k+ 13k -1 = 12.13k +13k – 1
Vì : 12.13k ⋮ 6 và 13k – 1 ⋮ 6
Nên : 13k+1 – 1 ⋮ 6
Vậy 13n -1 chia hết cho 6
b) Với n = 1, ta có: 3n3 + 15n = 18 ⋮ 9
Giả sử: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Thật vậy:
3(k + 1)3 + 15(k + 1) = 3. (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15(k + 1)
= 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18
= 3k3 + 15k + 9(k2 + k + 2)
Vì 3(k + 1)3 + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9
Nên: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Vậy: 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N*
Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?
an= a1. q1n-1, q1 là hằng số
bn= \(b_1q_2^{n-1}\), q2 là hằng số
Khi đó: an.bn = = a1. q1n-1. b1. q1n-1 = (a1b1)(q1q2)n-1
Vậy dãy số anbn là một cấp số nhân có công bội : q = q1q2
Ví dụ:
1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q1 = 2
3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q2 = 3
⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q1q2 = 2.3 = 6
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\), biết \(u_1=2;u_{n+1}=2u_n-1\) (với \(n\ge1\))
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh \(u_n=2^n+1\)
a) Ta có:
u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5
u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng
Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,
Nghĩa là chứng minh:
Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1
Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)
Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*
Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số :
a) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)
b) \(u_n=\left(-1\right)^{n-1}\sin\dfrac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Xét hiệu:
un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗un+1−un=(n+1+1n+1)−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số tăng (1)
Mặt khác: un=n+1n≥2√n.1n=2∀n∈N∗un=n+1n≥2n.1n=2∀n∈N∗
Nên un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn (3)
Từ (1), (2), (3) ta có un là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
u1 = (-1)0.sin1 = sin 1 > 0
u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0u2=(−1)1.sin12=−sin12<0u3=(−1)2.sin13=sin13>0
⇒ u1 > u2 và u2 < u3
Vậy un là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:
|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1|un|=|(−1)n−1.sin1n|=|sin1n|≤1⇔−1≤un≤1
Vậy un là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
un=√n+1−√n=n+1−n√n+1+√n=1√n+1+√nun=n+1−n=n+1−nn+1+n=1n+1+n
Xét hiệu:
un+1−un=1√(n+1)+1+√n+1−1√n+1+√n=1√n+2+√n+1−1√n+1+√nun+1−un=1(n+1)+1+n+1−1n+1+n=1n+2+n+1−1n+1+n
Ta có:
{√n+2>√n+1√n+1>√n⇒√n+2+√n+1>√n+1+√n{n+2>n+1n+1>n⇒n+2+n+1>n+1+n
⇒1√n+2+√n+1<1√n+1+√n⇒un+1−un<0⇒1n+2+n+1<1n+1+n⇒un+1−un<0
⇒ un là dãy số giảm (1)
Mặt khác:
un=1√n+1+√n>0,∀n∈N∗un=1n+1+n>0,∀n∈N∗
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì √n+1+√n≥√2+1n+1+n≥2+1
Nên un=1√n+1+√n≤1√2+1un=1n+1+n≤12+1
Suy ra: un là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: un là dãy số giảm và bị chặn
Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của các cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}5u_1+10u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7+u_{15}=60\\u_4^2+u_{12}^2=1170\end{matrix}\right.\)
a) Ta có:
{5u1+10u=0S4=14{5u1+10u=0S4=14
⇔{5u1+10(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3⇔{5u1+10(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3
Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3
b) Ta có:
{u7+u15=60u24+u212=1170⇔{(u1+6d)+(u1+14d)=60(1)(u1+3d)2+(u1+11d)2=1170(2){u7+u15=60u42+u122=1170⇔{(u1+6d)+(u1+14d)=60(1)(u1+3d)2+(u1+11d)2=1170(2)
(1) ⇔ 2u1 + 20d = 60 ⇔ u1 = 30 – 10d thế vào (2)
(2) ⇔[(30 – 10D) + 3d]2 + [(30 – 10d) + 11d]2 = 1170
⇔ (30 – 7d)2 + (30 + d)2 = 1170
⇔900 – 420d + 49d2 + 900 + 60d + d2 = 1170
⇔ 50d2 – 360d + 630 = 0
⇔[d=3⇒u1=0d=215⇒u1=−12⇔[d=3⇒u1=0d=215⇒u1=−12
Vậy
{u1=0d=3{u1=0d=3
hay
{u1=−12d=215
Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội q của các cấp số nhân \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_6=192\\u_7=384\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_5-u_4=10\\u_3+u_6-u_5=20\end{matrix}\right.\)
a)
{u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2){u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):
(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6
Vậy u1 = 6 và q = 2
b) Ta có:
{u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2){u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2)
Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔2u1(4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12
Vậy u1 = 12 và q = 2
c) Ta có:
{u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2){u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔ 2u1 (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u1 = 1
Vậy u1 = 1 và q = 2
Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác ?
Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số nhân và C = 4A
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
B2 = AC = A.(4A) = 4A2 ⇒ B = 2A
C2 = BD ⇒ (4A)2 = (2A).D ⇒ D = 8A
Mặt khác: A + B + C + D = 3600
⇒ A + 2A + 4A + 8A = 3600
⇒ A = 240 ⇒ B = 480, C = 960, D = 1920.
Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un+ d, ta có: un+1 – un = d
+ un+1 > un nếu d > 0
+ un+1 < un nếu d < 0
Vậy cấp số cộng (un)
+ Tăng nếu d > 0
+ Giảm nếu d < 0