Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số ?
Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Biết \(\left|u_n-2\right|\le v_n\) với mọi n và \(\lim\limits v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) ?
+ Với mọi n ∈ N*, ta có:
|un – 2| ≤ vn ⇔ -vn ≤ un – 2 ≤ vn
+ Mà lim (-vn) = lim (vn) = 0 nên
lim (un – 2) = 0 ⇔ lim un – lim 2 = 0 ⇔ lim un = 2
Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với :
\(A=\lim\limits\dfrac{3n-1}{n+2}\) \(H=\lim\limits\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)\)
\(N=\lim\limits\dfrac{\sqrt{n}-2}{3n+7}\) \(O=\lim\limits\dfrac{3^n-5.4^n}{1-4^n}\)
Hãy cho biết tên của học sinh này bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng ?
a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn ?
b) Cho ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó ?
Tìm các giới hạn sau :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x+3}{x^2+x+4}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+3x}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow4^-}\dfrac{2x-5}{x-4}\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(-x^3+x^2-2x+1\right)\)
e) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+3}{3x-1}\)
f) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}-x}{3x-1}\)
Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1-x^2}{x^2}\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+1}{x^2}\)
a) Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right);\lim\limits_{x\rightarrow0}g\left(x\right);\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right);\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}g\left(x\right)\)
b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường con nào là đồ thị của mỗi hàm số đó ?
Xét tính liên tục trên R của hàm số :
\(g\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-x-2}{x-2};\left(x>2\right)\\5-x;\left(x\le2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có:
limx→2+g(x)=limx→2+x2−x−2x−2=limx→2+(x−2)(x+1)x−2=limx→2+(x+1)=3limx→2+g(x)=limx→2+x2−x−2x−2=limx→2+(x−2)(x+1)x−2=limx→2+(x+1)=3
(1)
limx→2−g(x)=limx→2−(5−x)=3limx→2−g(x)=limx→2−(5−x)=3(2)
g(2) = 5 – 2 = 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: limx→2g(x)=g(2)limx→2g(x)=g(2) .
Do đó hàm số y = g(x) liên tục tại x0 = 2
_ Mặt khác trên (-∞, 2), g(x) là hàm đa thức và trên (2, +∞), g(x) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên (2, +∞) nên hàm số g(x) liên tục trên hai khoảng (-∞, 2) và (2, +∞)
Vậy hàm số y = g(x) liêu tục trên R.
Chứng minh rằng phương trình \(x^5-3x^4+5x-2=0\) có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left(-2;5\right)\) ?
Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2, ta có:
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩f(−2)=(−2)5−3(−2)4+5(−2)−2<0f(0)=−2<0f(1)=1−3+5−2=1>0f(2)=25−3.24+5.2−2=−8<0f(2)=35−3.34+5.3−2=13<0⇒⎧⎪⎨⎪⎩f(0).f(1)<0(1)f(1).f(2)<0(2)f(2).f(3)<0(3){f(−2)=(−2)5−3(−2)4+5(−2)−2<0f(0)=−2<0f(1)=1−3+5−2=1>0f(2)=25−3.24+5.2−2=−8<0f(2)=35−3.34+5.3−2=13<0⇒{f(0).f(1)<0(1)f(1).f(2)<0(2)f(2).f(3)<0(3)
_ Hàm số f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R.
⇒ Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [0, 1], [1, 2], [2, 3] (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (0, 1), (1, 2), (2, 3).
Vậy phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (-2, 5) (đpcm)
Tính các giới hạn sau (\(n\rightarrow+\infty\) )
a) \(\lim\limits\dfrac{\left(-3\right)^n+2.5^n}{1-5^n}\)
b) \(\lim\limits\dfrac{1+2+3+....+n}{n^2+n+1}\)
c) \(\lim\limits\left(\sqrt{n^2+2n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right)\)
Tìm giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) với :
a) \(u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^2+1}\)
b) \(u_n=\dfrac{2^n-n}{3^n+1}\)
Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số
Giới hạn dãy
Giới hạn hàm
lim1n=0lim1nk=0,K∈Z∗limqn=0,|q|<1limc=climnk=+∞,K∈Z∗limqn=+∞,q>1lim1n=0lim1nk=0,K∈Z∗limqn=0,|q|<1limc=climnk=+∞,K∈Z∗limqn=+∞,q>1
limx→x0x=x0limx→x0c=climx→±∞cxk=0,K∈z∗limx→x0x=x0limx→x0c=climx→±∞cxk=0,K∈z∗
limx→−∞xk=+∞limx→−∞xk=+∞(nếu k chẵn)
limx→−∞xk=−∞limx→−∞xk=−∞(nếu k lẻ)