Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:51

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)5= a5 + 5a4 (2b) + 10a3(2b)2 + 10a2 (2b)3 + 5a (2b)4 + (2b)5

= a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)6 = [a + (-√2)]6 = a6 + 6a5 (-√2) + 15a4 (-√2)2 + 20a3 (-√2)3 + 15a2 (-√2)4 + 6a(-√2)5 + (-√2)6.

= a6 - 6√2a5 + 30a4 - 40√2a3 + 60a2 - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

(x - )13= [x + (- )]13 = Ck13 . x13 – k . (-)k = Ck13 . (-1)k . x13 – 2k

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bình luận (0)
Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:51

(x+ )6 = Ck6 . x6 – k . ()k = Ck6 . 2k . x6 – 3k

Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 – 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C16 = 2 . 6 = 12.

Bình luận (0)
Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:50

 

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(1 - 3x)n = [1 - (3x)]n = Ckn (1)n – k (-3)k . xk.

Suy ra hệ số của x2trong khai triển này là 32C2n .Theo giả thiết, ta có:

32C2n = 90 => C2n = 10.

Từ đó ta có:

= 10 ⇔ n(n - 1) = 20.

⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

ĐS: n = 5.

Bình luận (0)
Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:50

Ta có: (x3 + )8= Ck8 x3(8 – k) ()k = Ck8 x24 – 4k

Trong tổng này, số hạng Ck8 x24 – 4k không chứa x khi và chỉ khi

⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C68 = 28.

Bình luận (0)
Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:50

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)17 bằng:

f(1) = (3 – 4)17= (– 1)17 = -1

Bình luận (1)
Lê Thiên Anh
Lê Thiên Anh 3 tháng 4 2017 lúc 21:48

a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1

= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1

= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002 + C21001002 + …+ 10099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.

c) (1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +…+ (√10)99 + (√10)100

(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -…- (√10)99 + (√10)100

√10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] = 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ . (√10)99]

= 2(C1100 10 + C3100 102 +…+ 1050)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.

Bình luận (0)
Bùi Thị Vân
Bùi Thị Vân 23 tháng 5 2017 lúc 10:53

a) \(11^{10}-1=\left(10+1\right)^{10}-1\)\(=C^0_{10}10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^9_{10}10+C^{10}_{10}-1\) \(=10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^8_{10}10^2+10.10\) chia hết cho 100. b) \(\left(101\right)^{100}-1=\left(100+1\right)^{100}-1\) \(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^1_{100}100+C_{100}^{100}100^0-1\) \(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+100.100+1-1\) \(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+10000\) chia hết cho 10000.

Bình luận (0)
Bùi Thị Vân
Bùi Thị Vân 23 tháng 5 2017 lúc 11:10

c) \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\) Ta có: \(\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}=C^0_{100}\sqrt{10}^0+C^1_{100}\sqrt{10}^1+...+C_{100}^{100}\sqrt{10}^{100}\) \(\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}=C^0_{100}\sqrt{10}^0-C^1_{100}\sqrt{10}^1+...+C_{100}^{100}\sqrt{10}^{100}\) Vì vậy \(\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\)\(=2\left(C^1_{100}\sqrt{10}^1+C^3_{100}\sqrt{10}^3+...+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{99}\right)\). Ta có: \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\)\(=2.\sqrt{10}\left(C^1_{100}\sqrt{10}^1+C^3_{100}\sqrt{10}^3+...+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{99}\right)\) \(=2\left(C^1_{100}\sqrt{10}^2+C^3_{100}\sqrt{10}^4+....+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{100}\right)\) \(=2\left(C^1_{100}10+C^3_{100}10^2+....+C^{99}_{100}10^{50}\right)\)\(\in N\). nên \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\) là một số nguyên.

Bình luận (0)
Nguyen Thuy Hoa
Nguyen Thuy Hoa 19 tháng 5 2017 lúc 11:34

Số hạng thứ \(k+1\) trong khai triển là :

\(t_{k+1}=C^k_{10}x^{10-k}\left(\dfrac{2}{x}\right)^k\)

Vậy \(t_5=C^4_{10}x^{10-4}.\left(\dfrac{2}{x}\right)^4=210.x^6.\dfrac{16}{x^4}=3360x^2\)

Bình luận (0)
Nguyen Thuy Hoa
Nguyen Thuy Hoa 19 tháng 5 2017 lúc 11:32

\(\left(1+x\right)^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6\)

a) \(1,01^6=\left(1+0,01\right)^6\approx1+6.0,01+15.\left(0,01\right)^2=1,0615\)

b) Dùng máy tính ta nhận được :

\(1,01^6\approx1,061502151\)

Bình luận (0)
Nguyen Thuy Hoa
Nguyen Thuy Hoa 19 tháng 5 2017 lúc 11:30

Số hạng thứ \(k+1\) của khai triển là :

\(t_{k+1}=C^k_n\left(3x\right)^k\)

Vậy số hạng chứa \(x^2\)\(t_3=C^2_n9.x^2\)

Theo đề bài ta có :

\(9.C^2_n=90\Leftrightarrow C^2_n=10\Leftrightarrow n=5\)

Bình luận (0)
Nguyen Thuy Hoa
Nguyen Thuy Hoa 18 tháng 5 2017 lúc 17:48

Tổ hợp - xác suất

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN