Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

(Hình 17)

Cho tứ diện đều ABCD. Hạ đường cao AH của tứ diện thì do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.

Do đó BH =

Từ đó suy ra AH2 = a2 – BH2 =

Nên AH =

Thể tích tứ diện đó V=

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Chia khối tám mặt đều cạnh a thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh a.

Gọi h là chiều cao của khối chóp thì dễ thấy

h2=a2−(√22)2=a22h2=a2−(22)2=a22 nên h=a√22h=a22

Từ đó thể tích khối tám mặt đều cạnh a là:

V=2.13.√22.a2=a3√23V=2.13.22.a2=a323.



Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi S là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC và D’. DAC. Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng h, nên tổng các thể tích của chúng bằng

.

Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện

ACB’D’=. Do đó tỉ số của thể tích khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng 3.

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).

Gọi S1 và S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB’C’.

Khi đó ta có h′h=SA′SAh′h=SA′SA12B′SC′.SB′.SC′12BSC.SB.SC=SB′SB.SC′SC12B′SC′.SB′.SC′12BSC.SB.SC=SB′SB.SC′SC

Suy ra VS.A′B′C′VS.ABC=VA′.SB′C′VA.SBC=13h′S213hS1=SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SCVS.A′B′C′VS.ABC=VA′.SB′C′VA.SBC=13h′S213hS1=SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SC

Đó là điều phải chứng minh.



Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

gọi (α) là mặt phẳng qua C vuông góc với BD
tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a => BC = a√2
tam giác ACD vuông cân ở C và AC = a => AD = a√2
BD^2 = CD^2 + BC^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2 => BD = a√3
BD L (α) => BD L CF
DC L (ABC) => DC L BC
ta có:
CD^2 = DF.BD => DF = CD^2/BD = a^2/(a√3) = a/√3
BD L (α) => BD L EF
DC L (ABC) và AB L AC => AB L AD ( định lý 3 đường vuông góc)
=> ΔDEF ~ Δ DBA => DF/DA = DE/BD
=> DE = DF.BD/DA = (a/√3)(a√3)/(a√2) = a/√2
V = V(DABC) = S(ABC).CD/3 = (a^2/2).a/3 = a^3/6
V1 = V(CDEF) = V(DCEF)
ta có:
V1/V = (DC/DC).(DE/DA).(DF/DB) = 1.[(a/√2)/(a√2)].[(a/√3)/(a√3)] = 1/6
=> V1 = V/6 = (a^3/36)

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d’, α là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Qua B, A, C dựng hình bình hành BACF. Qua A,C, D dựng hình bình hành ACDE.

Khi đó CFD.ABE là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:

VDABC=VDFCB=VBCDF

= VCFD.ABE

= hSFCD= h. ab. sinα

=h. ab. sinα (là một số không đổi).



Xem thêm tại: http://loigiaihay.com/cau-6-trang-26-sgk-hinh-hoc-12-c47a2782.html#ixzz4cxsiVwHA

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Khối đa diện

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Khối đa diện

Khối đa diện

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Khối đa diện

Khối đa diện

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Khối đa diện