Bài 2: Phương trình mặt phẳng, hỏi đáp

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

Bài 1 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng : a) Đi qua điểm Mleft(1;-2;4right) và nhận overrightarrow{n}left(2;3;5right) làm vectơ pháp tuyến b) Đi qua điểm Aleft(0;-1;2right) và song song với giá của mỗi vectơ overrightarrow{u}left(3;2;1right) và overrightarrow{v}left(-3;0;1right) c) Đi qua 3 điểm Aleft(-3;0;0right);Bleft(0;-2;0right);Cleft(0;0;-1right)

Đọc tiếp

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng :

a) Đi qua điểm $M\left(1;-2;4\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;3;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến

b) Đi qua điểm $A\left(0;-1;2\right)$ và song song với giá của mỗi vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(-3;0;1\right)$

c) Đi qua 3 điểm $A\left(-3;0;0\right);B\left(0;-2;0\right);C\left(0;0;-1\right)$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giải:

a) Măt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0 ⇔ (P) : 2x + 3y + 5z -16 = 0.

b) Xét $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right ]$ = (2 ; -6 ; 6), khi đó $\overrightarrow{n}$ ⊥ (Q) là mặt phẳng qua A (0 ; -1 ; 2) và song song với $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ (nhận $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ làm vectơ chỉ phương).

Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0 ⇔ (Q) :x - 3y + 3z - 9 = 0

c) Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B, C khi đó $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ là cặp vectơ chỉ phương của (R).

$\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix}$

= (2 ; 3 ; 6)

Vậy phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 2x + 3y + 6z + 6 = 0

Bài 2 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với $A\left(2;3;7\right);B\left(4;1;3\right)$ ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giải:

Cách 1 : Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB chính là đoanh thẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với vectơ

Ta có $\overrightarrow{AB}$ (2 ; -2; -4) và I(3 ; 2 ; 5) nên phương trình mặ phẳng (P) là:

2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay x- -2y -2z + 9 = 0.

Cách 2: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là tập hợp điểm M(x ; y ; z) trong không gian sao cho:

MA = MB ⇔ MA² = MB²

⇔ (x – 2)² + (y – 3)² + (z – 7)² = (x – 4)² + (y – 1)²+ (z – 3)²

⇔ - 4x + 4 - 6y + 9 - 14z + 49 = - 8x + 16 - 2y + 1 - 6z +9

⇔ 4x - 4y - 8z + 36 = 0

⇔ x - y - 2z + 9 = 0.

Bài 3 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Oxz\right)$ ?

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M\left(2;6;-3\right)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giải:

a) Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}$ (0 ; 0 ; 1) và là vectơ chỉ phương của trục Oz. Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng:

0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0 hay z = 0.

Tương tự phương trình mặt phẳng (Oyz) là : x = 0 và phương trình mặt phẳng (Ozx) là: y = 0.

b) Mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 6; -3) song song với mặt phẳng Oxy nhận $\overrightarrow{k}$ (0 ; 0 ; 1) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: z +3 = 0.

Tương tự mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng Oyz có phương trình x - 2 = 0.

Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng Oxz có phương trình y - 6 = 0.

Bài 4 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng :

a) Chứa trục Ox và điểm $P\left(4;-1;2\right)$ ?

b) Chứa trục Oy và điểm $Q\left(1;4;-3\right)$ ?

c) Chứa trục Oz và điểm $R\left(3;-4;7\right)$ ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giải:

a) Gọi (α) là mặt phẳng qua P và chứa trục Ox, thì (α) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{OP}$ (4 ; -1 ; 2) và $\overrightarrow{i}$ ( 1 ; 0 ;0). Khi đó $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ]$ =(0 ; 2 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α).

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2y + z = 0.

b) Tương tự phần a) mặt phẳng (β) qua điểm Q(1 ; 4 ; -3) và chứa trục Oy thì (β) qua điểm O( 0 ; 0 ; 0) có $\overrightarrow{OQ}$ (1 ; 4 ; -3) và $\overrightarrow{j}$ (0 ; 1 ; 0) là cặp vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng (β) có dạng : 3x + z = 0.

c) Mặt phẳng (ɣ) qua điểm R(3 ; -4 ; 7) và chứa trục Oz chứa giá của các vectơ

$\overrightarrow{OR}$ (3 ; -4 ; 7) và $\overrightarrow{k}$ (0 ; 0 ; 1) nhận 2 vectơ này làm vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng (ɣ) có dạng :4x + 3y = 0.

Bài 5 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là $A\left(5;1;3\right);B\left(1;6;2\right);C\left(5;0;4\right);D\left(4;0;6\right)$ :

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD) ?

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giải:

a) Mặt phẳng (ACD) đi qua A(5 ; 1 ; 3) và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{AC}$ (0 ; -1 ; 1)

và $\overrightarrow{AD}$ (-1 ; -1 ; 3).

Vectơ $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]$ = (-2 ; -1 ; -1) vuông góc với mặt phẳng (ACD).

Phương trình (ACD) có dạng:

2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0.

hay 2x + y + z - 14 = 0.

Tương tự: Mặt phẳng (BCD) qua điểm B(1 ; 6 ; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có : $\overrightarrow{BC}$ (4 ; -6 ; 2), $\overrightarrow{BD}$ (3 ; -6 ; 4) và

$\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )$

= (-12 ; -10 ; -6)

Xét $\overrightarrow{m_{1}}$ (6 ; 5 ; 3) thì $\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}$ nên $\overrightarrow{m_{1}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng:

6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0

hay 6x + 5y + 3z - 42 = 0.

b) Mặt phẳng ( α ) qua cạnh AB và song song với CD thì ( α ) qua A và nhận

$\overrightarrow{AB}$ (-4 ; 5 ; 1) , $\overrightarrow{CD}$ (-1 ; 0 ; 2) làm vectơ chỉ phương.

Vectơ $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ]$ = (10 ; 9 ; 5) là vectơ pháp tuyến của ( α ).

Phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng : 10x + 9y + 5z - 74 = 0.

Bài 6 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm $M\left(2;-1;2\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(\beta\right):2x-y+3z+4=0$ ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Vectơ $\tonn\to$ (2 ; -1 ; 3) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( β) .

Vì (α) // ( β) nên $\tonn\to$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) .

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

2(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 2) = 0

hay 2x - y + 3z -11 = 0.

Bài 7 (SGK trang 80)

Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua hai điểm $A\left(1;0;1\right);B\left(5;2;3\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\beta\right):2x-y+z-7=0$ ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hỏi đáp Toán

Bài 8 (SGK trang 81)

Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau :

a) $2x+my+3z-5=0$ và $nx-8y-6z+2=0$

b) $3x-5y+mx-3=0$ và $2x+ny-3z+1=0$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hỏi đáp Toán

Bài 9 (SGK trang 81)

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm $A\left(2;4;-3\right)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau :

a) $2x-y+2z-9=0$

b) $12x-5z+5=0$

c) $x=0$

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hỏi đáp Toán

Bài 10 (SGK trang 81)

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ :

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D cạnh bằng 1 :

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau ?

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên ?

Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hỏi đáp Toán

Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Câu hỏi

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực