Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x+1}{3x-2}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2-5x^2}{x^2+3}\)
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1;x\ge0\\2x;x< 0\end{matrix}\right.\)
và các dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(\left(u_n\right)=\dfrac{1}{n},\left(v_n\right)\) với \(v_n=-\dfrac{1}{n}\)
Tính \(\lim\limits u_n,\lim\limits v_n,\lim\limits f\left(u_n\right)\) và \(\lim\limits f\left(v_n\right)\) ?
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x -> 0 ?
\(limu_n=lim\dfrac{1}{n}=0\); \(limv_n=lim\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0\).
\(limf\left(u_n\right)=lim\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}}+1\right)=1\).
\(limf\left(v_n\right)=lim\left(2.\dfrac{-1}{n}\right)=lim\dfrac{-2}{n}=0\).
Hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\) đều có giới hạn 0 khi n tiến ra dương vô cùng nhưng \(limf\left(u_n\right)\ne limf\left(v_n\right)\) nên f không có giới hạn tại \(x=0\).
Tính các giới hạn sau :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^2-1}{x+1}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{4-x^2}{x+2}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow6}\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x-6}{4-x}\)
e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{17}{x^2+1}\)
f) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^2+x-1}{3+x}\)
a)
=
= -4.
b)
=
=
(2-x) = 4.
c)
=
=
=
=
.
d)
=
= -2.
e)
= 0 vì
(x2 + 1) =
x2( 1 +
) = +∞.
f)
=
= -∞, vì
> 0 với ∀x>0.
Tìm các giới hạn sau :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x-5}{\left(x-2\right)^2}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2x-7}{x-1}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x-7}{x-1}\)
a) Ta có (x - 2)2 = 0 và (x - 2)2 > 0 với ∀x ≠ 2 và
(3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0.
Do đó
= +∞.
b) Ta có (x - 1) và x - 1 < 0 với ∀x < 1 và
(2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 <0.
Do đó
= +∞.
c) Ta có (x - 1) = 0 và x - 1 > 0 với ∀x > 1 và
(2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 < 0.
Do đó
= -∞.
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x^2-9}\) có đồ thị như hình trên (Hình 53)
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x\rightarrow-\infty\), \(x\rightarrow3^-,x\rightarrow-3^+\)
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau :
* \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-\infty;-3\right)\)
* \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-3;3\right)\)
* \(\lim\limits_{x\rightarrow-3^+}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-3;3\right)\)Quan sát đồ thị ta thấy x → -∞ thì f(x) → 0; khi x → 3- thì f(x) → -∞;
khi x → -3+ thì f(x) x → +∞.
b) f(x) =
=
= 0.
f(x) =
=
= -∞ vì
=
> 0 và
= -∞.
f(x) =
=
.
= +∞
vì
=
=
> 0 và
= +∞.
Tính :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-x^2+x-1\right)\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(-2x^3+3x^2-5\right)\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{x^2-2x+5}\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}\)
a) 
(x4 – x2 + x - 1) = x4(1 - 
) = +∞.
b) 
(-2x3 + 3x2 -5 ) = x3(-2 + 
) = +∞.
c) 
= 
= +∞.
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left|x\right|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+x}{5-2x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+x}{5-2x}\)\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}{\dfrac{5}{x}-2}=-1\).
Một thấu kinh hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB từ ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là : \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{f}\)
a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d'=\varphi\left(d\right)\)
b) Tìm \(\lim\limits_{d\rightarrow f^+}\varphi\left(d\right);\lim\limits_{d\rightarrow f^-}\varphi\left(d\right)\) và \(\lim\limits_{d\rightarrow+\infty}\varphi\left(d\right)\)
Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được ?
a) Từ hệ thức suy ra d' = φ(d) =
.
b) +) φ(d) =
= +∞ .
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.
+) φ(d) =
= -∞.
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.
+) φ(d) =
=
= f.
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x+3}{3-x}\)\(\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+1}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2,\left(x\ge0\right)\\x^2-1,\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(f\left(x\right)\). Từ đó dự đoán về giới hạn của \(f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow0\)
b) Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên
a) Chứng minh rằng hàm số \(y=\sin x\) không có giới hạn khi \(x\rightarrow+\infty\)
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a)
a) Hàm số f(x) =
xác định trên R\{
} và ta có x = 4 ∈ (
;+∞).
Giả sử (xn) là dãy số bất kì và xn ∈ (
;+∞); xn ≠ 4 và xn → 4 khi n → +∞.
Ta có lim f(xn) = lim
= 
= 
.
Vậy
= 
.
b) Hàm số f(x) =
xác định trên R.
Giả sử (xn) là dãy số bất kì và xn → +∞ khi n → +∞.
Ta có lim f(xn) = lim
= lim 
= -5.
Vậy
= -5.