§5. Dấu của tam thức bậc hai

a)

\(\Delta=9-20=-11\) vô nghiêm

=> A luôn dương (+) với mọi x thuộc R

b) {a-b+c=0}

B= 0 khi x= -1 hoặc x= 5/2

B>0 khi -1<x<5/2

B<0 khi x<-1 hoặc x>/52

c) x^2 +12x+36 =(x+6)^2

C = 0 khi x =-6

C > 0 mọi x khác -6

d)

D = 0 khi x =3/2 hoặc x=-5

D> 0 khi x<-5 hoặc x>3/2

D<0 khi -5<x<3/2

a) 3x^3 -10x+3 =(3x-1)(x-3)

Kết luận

VT< 0 {dấu "-"} khi x <1/3 hoắc 5/4<x<3

VT>0 {dấu "+"} khi x 1/3<5/4 hoặc x> 3

VT=0 {không có dấu} khi x={1/3;5/4;3}

a) \(4x^2-x+1< 0\)

Tam thức f(x) = 4x² - x + 1 có hệ số a = 4 > 0 biệt thức ∆ = 1² – 4.4 < 0. Do đó f(x) > 0 ∀x ∈ R.

Bất phương trình 4x² - x + 1 < 0 vô nghiệm.

a)pt vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta'< 0\)\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2-\)\(\left(5m-6\right)\left(m-2\right)>0\Leftrightarrow-m^2+4m+21>0\Leftrightarrow m>-3\)và \(m< 7\) (xét dấu tam thức bậc hai)

b) Tương tự câu a

a)

\(A=2x^2+5x+2\) \(\Delta=25-16=9\)

Nếu \(\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\dfrac{-1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=0\)

nếu \(\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A>0\)

Nếu \(-2< x< \dfrac{1}{4}\Rightarrow A< 0\)

a) \(x^2-2x+3>0\)

\(\left(x-1\right)^2+2>0\) =>N₀ đúng với mọi x

b)

\(x^2-6x+9>0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2>0\Rightarrow N_0\forall x\ne3\)

a) 6x^2 -x-2>=0

\(\Delta=1+24=25\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1-5}{2.6}=\dfrac{-1}{3}\\x\ge\dfrac{1+5}{2.6}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

\(\dfrac{1}{3}x^2+3x+6< 0\Leftrightarrow x^2+9x+18< 0\left\{\Delta=81-4.18=9\right\}\)

\(x_1=\dfrac{-9-3}{2}=-6;x_2=\dfrac{-9+3}{2}=-3\)

\(N_0BPT:\) \(-6< x< -3\)

a)

x^2 +1 >0 mọi x

BPT \(\Leftrightarrow x^2+3x-10< 0\) {\(\Delta=9+40=49\)}

\(\Rightarrow-5< x< 2\)

b)

5+x^2 > 0 với mọi x BPT \(\Leftrightarrow20-2x-x^2-5>0\Leftrightarrow x^2+2x-15< 0\){\(\Delta'=1+15=16\)}

\(\Rightarrow-5< x< 3\)

a) Đkxđ: \(x\ne1,x\ne0\)

\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{x-1}+2>\dfrac{x-1}{x}\Leftrightarrow\dfrac{2}{x-1}+2>-\dfrac{1}{x}

22\Leftrightarrow\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{x}+2>0\Leftrightarrow\dfrac{2x+x-1+2\left(x^2-x\right)}{\left(x-1\right)x}=\dfrac{2x^2+x-1}{\left(x-1\right)\left(x\right)}>0

Tử {delta =9}

-1< x< \dfrac{1}{2}\Rightarrow Tử< 0

0< x< 1\Rightarrow M< 0

Nghiệm BPT là

\left[{}\begin{matrix}x< -1\\0< x< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right. hoặc x>1

a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge\dfrac{1}{4}\left(1\right)\\x^2-x\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)x^2-0,25\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{2}\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

(2)\(x^2-x\le\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\)

Kết hợp (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le x\le1\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\left(1\right)\\\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải: \(\left(1\right)\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{3}{2}\\x>1\end{matrix}\right.\)

Giải: (2) \(\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)< 0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le x\le4\)

Kết hợp điều kiện của (1) và (2) ta có:  (1;4] là nghiệm của hệ bất phương trình.