Gọi G là trọng tâm, ta có:

\(BG=\dfrac{2}{3}\cdot BD=\dfrac{2}{3}\cdot9\) và \(CG=\dfrac{2}{3}\cdot CE=\dfrac{2}{3}\cdot12\)

Thao định lí Pytago đảo, ta có:

\(BC^2=BG^2+CG^2=\left(\dfrac{2}{3}\cdot9\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\cdot12\right)^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

Vậy tam giác BGC là tam giác vuông tại G

hay BD song song CE

a) Theo định lí Pytago, ta có:

BC² = AB² + AC²

=> AC² = BC² - AB²

=> AC² = 10² - 6²

=> AC² = 64

Vậy AC = 8

Mà AD + CD = AC

=> CD = AC - AD

=> CD = 8 - 3 = 5

b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông EBD, ta có:

BD: chung

góc ABD = góc EBD ( vì BD là tia phân giác của góc ABE)

Do đó: tam giác ABD = tam giác EBD (cạnh huyền.góc nhọn)

=> AB = BE (2 cạnh tương ứng)

Hay tam giác BAE cân tại B

c) Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất

nên DF > AD

mà AD = DE ( vì tam giác ABD = tam giác EBD)

Vậy DF > DE

d) Tam giác BCF có CA và EF là 2 đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác BCF

=> BH song song với CF

Mà BH là đường phân giác của BAC

=> tam giác BCF cân tại B

=> BH là đường trung tuyến

Xét tam giác CFK có:

CD là trung tuyến ( vì DK = DF nên D là trung tâm của FK)

\(CI=\dfrac{2}{3}\cdot CD\) (vì CI = 2DI nên \(\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CI}{CI+DI}=\dfrac{2DI}{2DI+DI}=\dfrac{2DI}{3DI}=\dfrac{2}{3}\) )

=> I là trọng tâm của tam giác CFK

=> KI đi qua trung điểm CF

mà H là trung điểm của CF (vì BH là đường trung tuyến)

Vậy K,I,H thẳng hàng