Bài bạn Hoàng Lê Bảo Ngọc mình xem qua không thấy vấn đề gì nhưng đến  chỗ (II) có thể làm như sau:

\(\left(II\right)\Rightarrow\begin{cases}\left(x+y\right)^2=1\\\left(x-y\right)^2=9\end{cases}\)

Đến đây không khó.

Cách khác nhanh hơn:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(16x^2+4x+1\ge3\sqrt[3]{4^2.x^2.4x}=3.4x=12x\)

Suy ra \(A\ge\frac{12x}{2x}=6\).

Đẳng thức xảy ra khi \(16x^2=4x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

________________

P/S: Cách này nhanh hơn avf không đòi hỏi phải tính toán nhiều :D

Đặt \(\sqrt[3]{2+x}=a;\sqrt[3]{2-x}=b\) thì ta có hệ:

\(\begin{cases}a+b=1\\a^3+b^3=4\end{cases}\)

Tới đây có thể giả bằng phương pháp thế.