Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(7;2;3), B(1;4;3), C(1;2;6), D(1;2;3) và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + \(\sqrt{3}\)MD đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\dfrac{3\sqrt{21}}{4}\) B. \(\sqrt{26}\) C.\(\sqrt{14}\) D.\(\dfrac{5\sqrt{17}}{4}\)

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đến đt BB' bằng \(\sqrt{5}\), khoảng cách từ A đến các đt BB' và CC' lần lượt là 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mp(A'B'C') là trung điểm M của B'C' và A'M = \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)

B. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\)

C. \(\sqrt{5}\)

D.\(\dfrac{2\sqrt{15}}{3}\)

1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R⁺ thỏa mãn f '(x) \(\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in R^+\) và f(1) = 1. CM : \(f\left(2\right)\ge\dfrac{5}{2}+ln2\).

2) Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : \(g\left(x\right)=1+2018\int\limits^x_0f\left(t\right)dt\) , g(x) = f² (x). Tính \(\int\limits^1_0\sqrt{g\left(x\right)}dx\).

3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=9\) và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}\). Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).

2 vật DĐĐH có cùng tần số góc ω. Tổng biên độ DĐ của 2 vật là 10cm. Trong quá trình dao động tại thời điểm t, vật 1 có biên độ A₁ qua vị trí x₁ với vận tốc v₁, vật 2 có biên độ A₂ qua vị trí x₂ với vận tốc v₂. Biết x₁v₂ + x₂v₁ = 9(cm²/s). Giá trị của ω có thể là:

A. 0,4 rad/s

B. 0,3 rad/s

C. 0,2 rad/s

D. 0,1 rad/s

Tính (trình bày cách giải ln nka):

a) \(\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{1}{cos^4x}dx\)

b) \(\int_0^1\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}dx\)

c)\(\int_1^2\dfrac{x^2+2lnx}{x}dx\)

d) \(\int_1^2\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+x}dx\)

e) \(\int_0^33x\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)dx\)