Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90⁰. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ À vuông góc với AB và AF=AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH =AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI=DA. CMR:

a) AI=FH

b) \(DA\perp FH\)

\(\forall n\in N\). CMR:

a) \(A=n^2+3n+18⋮̸49\)

b) \(B=n^2+3n-6⋮̸121\)

Cho biểu thức: \(P=\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{y^2+2xy+x^2}\right)\).

a) Tìm điều kiện để giá trị của P được xác định.

b) Rút gọn P.

c) Nếu x, y là các số thực làm cho P xác định được giá trị và thỏa mãn \(3x^2+y^2+2x-2y=1\). Hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của P.

a) Tìm GTNN của biểu thức:

\(A=13x^2+y^2+4xy-2y-16x+2015\)

b) Cho 2 số a, b thỏa mãn điều kiện a+b=1. CMR: \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\).

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh \(\Delta AQR\) và \(\Delta APS\) là các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H; gọi M, N là trung điểm của QR và PS. CM tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

c) CM 4 điểm M, B, N, D thẳng hàng.

Giải các phương trình sau:

a) \(\dfrac{3}{x^2+5x+4}+\dfrac{2}{x^2+10x+24}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{x^2+3x-18}\)

b) \(x^2-y^2+2x-4y-10=0\)

Phân tich đa thức thành nhân tử: \(x^4+2018x^2+2017x+2018\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH, Am là đường cao, đường trung tuyến. Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC. Kẻ MK vuông góc với AB. Gọi N là giao điểm của AM và HE. CMR:

a) AM vuông góc DE

b) BN // DE

c) MK, BN, AH đồng quy.