\(P=\left(4a^2+b^2\right)+\left(12a^2+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{\left(2a+b\right)^2}{2}+3\sqrt[3]{12a^2.\frac{3a}{2}.\frac{3a}{2}}+3\sqrt[3]{b^2.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}}\)

BĐT\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x-1}\right)^3+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3\ge3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{y}+\frac{1}{y}-2\right)\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x-1};\frac{x-1}{y};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b;c\right)\)

BĐT cần cm \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)

Đúng theo AM-GM --> đpcm

\(VT\ge4\frac{\sqrt[4]{bc}}{\sqrt{a}}.4\frac{\sqrt[4]{ca}}{\sqrt{b}}.4\frac{\sqrt[4]{ab}}{\sqrt{c}}=64\)

Trọn trục tọa độ một trục \(Oy\), điểm xuất phát trùng gốc tọa độ. Chiều dương hướng lên. Chọn mốc thời gian là lúc vật \(I\) bắt đầu được ném lên.

Phương trình chuyển động vật \(I\) :

\(y_1=v_0t-\frac{1}{2}gt^2=40t-5t^2\)

Phương trình chuyển động vật \(II\) :

\(y_2=40\left(t-3\right)-\frac{1}{2}.10.\left(t-3\right)^2=-5t^2+70t-165\)

Để 2 vật gặp nhau thì : \(y_1=y_2\)

\(\Leftrightarrow40t-5t^2=-5t^2+70t-165\Leftrightarrow t=5.5\left(s\right)\)

\(KL....\)

Trọn trục tọa độ \(Oy\). gốc tọa độ trùng điểm xuất phát. Chiều dương hướng xuống. Mốc thời gian là lúc vật thứ nhất bắt đầu rơi.

Phương trình chuyển động của vật I : \(y_1=\frac{1}{2}gt^2\)

Phương trình chuyển động của vật II : \(y_2=\frac{1}{2}v_0\left(t-1\right)^2\)

Vì 2 vật trạm đất cùng lúc nên \(y_1=y_2=h\)

Hay \(\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}v_0\left(t-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{g}t=\sqrt{v_0}\left(t-1\right)\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{v_0}}{\sqrt{v_0}-\sqrt{g}}\)

Vậy \(h=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}g\left(\frac{\sqrt{v_0}}{\sqrt{v_0}-\sqrt{g}}\right)^2\)

Gọi \(g\) là gia tốc trọng trường của vật trong TH này.

Ta có : \(s_1=\frac{1}{2}gt_1^2\) và \(s_2=\frac{1}{2}gt_2^2\)

Lúc này \(s_2=9s_1\Leftrightarrow\frac{1}{2}gt_2^2=9.\frac{1}{2}gt_1^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{t_1^2}{t_2^2}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow\frac{t_1}{t_2}=\frac{1}{3}\).

Do vậy tỉ số vận tốc cuối cùng ngay trước lúc trạm đất là:

\(\frac{v_2}{v_1}=\frac{gt_2}{gt_1}=\frac{t_2}{t_1}=3\)

\(N=\frac{2}{\sum x^2}+\frac{2}{\sum xy}+\frac{2}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}\ge\frac{18}{\left(\sum x\right)^2}+\frac{3}{\left(\sum x\right)^2}=21\)

\(A=\frac{1}{2}.xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\left(2xy+x^2+y^2\right)^2=2\)

Đặt \(4p+1=k^3\left(k\in N\right)\)

Lúc này \(4p=k^3-1=\left(k-1\right)\left(k^2+k+1\right)\circledast\)

Xét \(p=2\Rightarrow loai\)

Xét \(p>2\) suy ra \(p\) là số nguyên tố lẻ.

Mà \(k^2+k+1=k\left(k+1\right)+1\) luôn lẻ.

Do đó từ \(\circledast\) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}k-1=4\\k^2+k+1=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=5\\p=31\end{matrix}\right.\)\(\left(TMDK\right)\)

Vậy \(p=31\) là giá trị cần tìm.