Toán

Gọi AC là chiều cao của cây, AB là bóng của cây trên mặt đất

Theo đề, ta có: AB vuông góc với AC tại A, AB=8,1m; \(\widehat{B}=55^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AC=8.1\cdot tan55\simeq11,57\left(m\right)\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là trung tuyến

nên \(HM=\dfrac{AB}{2}\)

ΔHAC vuông tại H có HN là trung tuyến

nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)

\(\left(\dfrac{HA}{HM}\right)^2+\left(\dfrac{HA}{HN}\right)^2\)

\(=\left(HA:\dfrac{AB}{2}\right)^2+\left(HA:\dfrac{AC}{2}\right)^2\)

\(=4\cdot HA^2\left(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\right)=4\cdot\dfrac{HA^2}{HA^2}=4\)

a: 

\(A=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}-1-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{-2+\sqrt{3}}\cdot\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}-1\right)\)

\(=\left(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)\cdot\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)\)

1:

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=MB=MC

ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{ACB}+\widehat{B}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{HAB}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔHAB vuông tại H)

Do đó: \(\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\)

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{B}\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>AM vuông góc DE

2:

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là trung tuyến

nên IH=IB=ID

ΔHEC vuông tại E

mà EK là trung tuyến

nên KE=KH=KC

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{DAH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>EK vuông góc ED

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{IHD}+\widehat{EAH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)

=>DI vuông góc DE

=>DI//EK

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x(giờ)(ĐK: x>0)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{5}\left(bể\right)\)

Trong 1h, hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{3}\left(bể\right)\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{15}\)

=>\(x=\dfrac{15}{2}\)(nhận)

Vậy: Vòi 2 cần 15/2 giờ để chảy một mình đầy bể

ΔCID vuông tại I

=>\(CI^2+ID^2=CD^2\)

=>\(DI=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8\left(cm\right)\)

Kẻ AH vuông góc BC

=>AH//DI

Xét ΔCAH có DI//AH

nên \(\dfrac{DI}{AH}=\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AH=9.6\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AB^2=AH^2+HB^2\)

=>\(HB=\sqrt{16^2-9.6^2}=12.8\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HC=\sqrt{12^2-9.6^2}=7.2\left(cm\right)\)

BC=BH+CH

=12,8+7,2

=20(cm)

Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Do tòa nhà vuông góc với mặt đất nên ta có:

\(\Rightarrow tanx=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

Góc tạo bởi mặt trời và tòa nhà là:

\(tan^{-1}\dfrac{2}{3}\approx34^o\)  

Vậy: .... 

Diện tích 1 viên gạch là:

25/100=0,25(m²)

Độ dài cạnh 1 viên gạch là:

\(\sqrt{0.25}=0.5\left(m\right)\)

Chu vi 1 viên gạch là:

0,5*4=2(m)

Xét ΔABC có 

\(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>\(\dfrac{26.4^2+49.4^2-AB^2}{2\cdot26.4\cdot49.4}=cos\left(47^020'\right)\)

=>\(3137.32-AB^2=2608.32\cdot cos\left(47^020'\right)\)

=>\(AB=\sqrt{3137.32-2608.32\cdot cos47^020'}\simeq37\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{BC}{sinA}\)

=>\(\dfrac{37}{sin47^020'}=\dfrac{26.4}{sinB}=\dfrac{49.4}{sinA}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}sinB\simeq0.52\\sinA\simeq0.98\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\widehat{B}\simeq31^019'\)

\(\widehat{A}=180^0-31^019'-47^020'=101^021'\)

\(c=\sqrt{a^2+b^2-2.a.b.cosC}\)

\(=\sqrt{49,4^2+26,4^2-2.26,4.49,4.cos47^o20'}\simeq37\)

Ta có:

\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\left(26,4\right)^2+37^2-\left(49,4\right)^2}{2.26,4.37}\simeq-0,2\)

\(\Rightarrow\widehat{A}\simeq101,5^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=180^o-101,5^o-47,3^o=31,2^o\)

Áp dụng định lí côsin ta có:

c2 = a2 + b2 - 2ab.cos C = 49,42 + 26,42 - 2 . 49,4 . 26,4 . cos

 ≈ 1 369,58

 c ~ 37

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

Cos A = \(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{^{2bc}}\) \(=\) \(\dfrac{26,4^2+37^2-49,4^2}{2.26,4.37}\) \(\rightarrow\) _0,19

\(\rightarrow\) \(Â\) ~ 101°3'

Khi đó B = 180° - \((Â+C)\) \(\rightarrow\)31°37’.

\(x^2+2y^2-4x+2y+\dfrac{9}{2}=0\)

\(x^2-4x+4+2y^2+2y+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\left(x-2\right)^2+2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

Vì \(\left(x-2\right)^2+2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x^2+2y^2-4x+2y+\dfrac{9}{2}=0\)

=>\(x^2-4x+4+2y^2+2y+\dfrac{1}{2}=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2+2\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2+2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

mà \(\left(x-2\right)^2+2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2>=0\forall x,y\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)