Toán

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=1\)

Gọi số quần áo xưởng phải may mỗi ngày theo kế hoạch là x bộ (x nguyên dương)

Theo kế hoạch xưởng phải làm trong \(\dfrac{280}{x}\) ngày

Thực tế mỗi ngày xưởng làm được: \(x+5\) bộ

Thực tế số ngày làm việc của xưởng là: \(\dfrac{280}{x+5}\) ngày

Do xưởng hoành thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có pt:

\(\dfrac{280}{x}-\dfrac{280}{x+5}=1\)

\(\Rightarrow280\left(x+5\right)-280x=x\left(x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-1400=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=35\\x=-40\end{matrix}\right.\)

a.

Do \(OM>ON\) nên điểm N nằm giữa 2 điểm M và O

\(MN=OM-ON=4\left(cm\right)\)

b.

Do I là trung điểm MN \(\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}MN=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow OI=ON+IN=3+2=5\left(cm\right)\)

a. Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-x_2^2=x_1^2+3x_1x_2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=5^2-2=23\)

\(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=5^3-3.\left(-2\right).5=155\)

\(C=\dfrac{x_1+1}{x_2}+\dfrac{x_2+1}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(=\dfrac{5^2-2.\left(-2\right)+5}{-2}=-17\)

b.

Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của pt:

\(x^2-5x+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)\)

\(3.\)

Ta có: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4.1.\left(-2\right)=33>0\)

ĐL Vi - et:

\(\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{5}{1}=5\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{2}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(A=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+2x_2\right)-x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2x_2^2-x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2+x_2^2=5^2+x_2^2=25+x_2^2\)

\(P=x^3_1+x^3_2=x^3_1+x^3_2+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2-3x_1^2x_2-3x_1x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=5^3-3.\left(-2\right).5=155\)

\(C=\dfrac{x_1+1}{x_2}+\dfrac{x_2+1}{x_1}\)

    \(=\dfrac{x_2\left(x_1+1\right)}{x_1x_2}+\dfrac{x_1\left(x_2+1\right)}{x_1x_2}=x_2\left(x_1+1\right)+x_1\left(x_2+1\right)\)

     \(=x_1x_2+x_2+x_1x_2+x_1=x_1x_2+x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=\left(-2\right)+\left(-2\right)+5=1\)

Gọi số cần lập có dạng \(\overline{abcd}>2023\)

\(\Rightarrow a\ge2\)

TH1: \(a=2\Rightarrow b\) có 1 cách chọn là \(b=0\)

\(\Rightarrow\) \(c=1\Rightarrow\) d có 5 cách chọn

TH2: \(a>2\) \(\Rightarrow a\) có 5 cách chọn

\(\Rightarrow\) chọn b,c,d bất kì đều thỏa mãn nên bộ bcd có \(A_7^3\) cách chọn và hoán vị

\(\Rightarrow5+5.A_7^3\) số

a: Trên tia Ay, ta có AC<AB

nên C nằm giữa A và B

=>CA+CB=AB

=>CB+4=8

=>CB=4(cm)

ta có: C nằm giữa A và B

CA=CB(=4cm)

Do đó: C là trung điểm của AB

b: \(\widehat{xAy}=80^0< 90^0\)

=>\(\widehat{xAy}\) là góc nhọn

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3x}{2};y;z\right)\) \(\Rightarrow x;y;z>0\)

\(P=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{2x+z}{y}+\dfrac{4\left(y-z\right)}{x+z}\)

\(=\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+1-1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{4\left(y-z\right)}{x+z}+4-4\)

\(=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{4x+4y}{x+z}-5\)

\(=\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{x+z}{x}+\dfrac{4x}{x+z}\right)+\left(\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{4y}{x+z}\right)-5\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{4x\left(x+z\right)}{x\left(x+z\right)}}+2\sqrt{\dfrac{4y\left(x+z\right)}{y\left(x+z\right)}}-5=5\)

\(P_{min}=5\) khi \(x=y=z\) hay \(b=c=\dfrac{2a}{3}\)

Gọi H là trung điểm BC thì H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Do \(A'A=A'B=A'C\) nên hình chiếu của A' lên (ABC) trùng tâm đường tròn ngoại tiếp (ABC)

\(\Rightarrow A'H\perp\left(ABC\right)\)

Gọi D là trung điểm B'C' \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AHD\right)\) nên \(\widehat{DHA}\) là góc cần tìm

\(BC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{6}\); \(AH=A'D=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(A'H=\sqrt{A'A^2-AH^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}\)

\(tan\widehat{A'HD}=\dfrac{A'D}{A'H}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) \(\Rightarrow\widehat{A'HD}=37^045'\)

\(\Rightarrow\widehat{DHA}=90^0+\widehat{A'HD}=127^045'\)

Tính nhầm chỗ nào ko mà kết quả ko đẹp