Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1) Dạng 1: Hai đường thẳng cắt nhau

*) $\Delta$ cắt $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ tại A thì $A(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$.

*) $\Delta\parallel (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}.\overrightarrow{n_P}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}$ là VTPT của $\Delta$ và $\overrightarrow{v_\Delta}$ là VTCP của (P).

*) $\Delta\perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\parallel \overrightarrow{n_P}\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}$ là VTCP của $\Delta$ và $\overrightarrow{v_\Delta}$ là VTPT của (P).

*) $\Delta \subset (P)$ và $A=\Delta\cap d$ thì $A=d\cap (P)$.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P):x-3y+4z-1=0, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và điểm A(3;1;1). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A cắt đường thẳng d và song song với (P).
ĐS: $\Delta:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$
Ví dụ 2: Cho các mặt phẳng (P):3x+12y-3z-5=0, (Q):3x-4y+9z+7=0 và các đường thẳng $d_1:\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3},d_2:\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{4}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với (P),(Q) và cắt cả $d_1,d_2$.
ĐS: $\Delta: \dfrac{x-5}{8}=\dfrac{y+4}{-3}=\dfrac{z+2}{-4}$

Ví dụ 3: (Khối A-2007) Cho hai đường thẳng

\(d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1},d_2:\begin{cases} x=-1+2t\\ 1+t\\ z=3 \end{cases} \)

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$.
ĐS: $d:\dfrac{x-2}{7}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-4}$

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-9}{-1},d_2:\dfrac{x-3}{-7}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}$. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $d_1,d_2$ và Ox tại A,B,C sao cho B là trung điểm AC.

ĐS: $\Delta: \Delta:\dfrac{x-8}{12}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z-8}{4}$

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P):2x-y+2z-3=0 và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{-1},d_2:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+5}{3}=\dfrac{z-7}{-2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với (P), cắt $d_1,d_2$ tại A,B sao cho $AB=3$.

ĐS: $\Delta:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{2}$

2) Dạng 2: Hai đường thẳng vuông góc

*) $\Delta\perp d\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\perp\overrightarrow{v_d}=0$.

*) Nếu $\Delta\perp d$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTPT của $\Delta$.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$, mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$ và điểm A(1;-1;2). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A song song với (P) và vuông góc với d.
ĐS: $\Delta: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{-1}$
Ví dụ 7: Cho A(4;3;2) và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc và cắt $\Delta$.

ĐS: $d:\dfrac{x-4}{27}=\dfrac{y-3}{-19}=\dfrac{z-2}{-3}$

Ví dụ 8: (Đại học Khối D 2006) Cho A(1;2;3) và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1},d_2:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$.

ĐS: $\Delta: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{-5}$
Ví dụ 9: Cho đường thẳng $$\Delta_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1},\Delta_2:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$$

    Tìm $M\in \Delta_1,N\in Ox$ sao cho $MN\perp \Delta_2$ và $MN=2\sqrt{5}$.
ĐS: $M(1;2;0),N(5;0;0)$ hoặc $M\left(-\dfrac{5}{3};-\dfrac{10}{3};-\dfrac{8}{3}\right),N(-3;0;0)$

3) Dạng 3: Hai đường thẳng song song

*) $\Delta\parallel d\Leftrightarrow \overrightarrow{v_\Delta}\parallel \overrightarrow{v_d}$.

*) Nếu $\Delta\parallel d$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTCP của $\Delta$.

Ví dụ 10: (Đại học Khối D 2005) Cho $$d_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{2}; d_2:\begin{cases}
    x+y-z-2=0\\ x+3y-12=0
    \end{cases}$$ Chứng minh rằng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
ĐS: $(P):15x+11y-17z-10=0$

Ví dụ 11: Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x+8}{2}=\dfrac{y-6}{1}=\dfrac{z-10}{-1}, d_2:\begin{cases}
    x=t\\ y=2-t\\ z=-4+2t
    \end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng d song song với Ox và cắt $d_1,d_2$.
ĐS: $d:\begin{cases}    x=-52+t\\ y=-16\\ z=32        \end{cases}$

4) Dạng 4: Hai đường thẳng chéo nhau

*) $\Delta,\Delta'$ chéo nhau khi và chỉ khi $[\overrightarrow{v_\Delta},\overrightarrow{v_{\Delta'}}].\overrightarrow{MM'}\neq 0$ với $M\in \Delta, M'\in \Delta'$.

*) Đường vuông góc chung của $\Delta,\Delta'$ qua $H\in \Delta,K\in \Delta'$ là hai điểm thỏa mãn \(\begin{cases} \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{v_\Delta}=0\\ \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{v_{\Delta'}}=0\\ \end{cases}\) . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta,\Delta'$ là

    $$\boxed{d(\Delta,\Delta')=HK}.$$

Ví dụ 12: (Đại học Khối A 2007) Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1}; d_2:\begin{cases}
    x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=3
    \end{cases}$. Chứng minh rằng $d_1,d_2$ chéo nhau.
ĐS: $d(d_1,d_2)=\sqrt{2},\Delta:\begin{cases}
        x=-\dfrac{2}{5}+t\\ y=\dfrac{14}{5}\\ z=-\dfrac{3}{5}+t
        \end{cases}$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt phẳng

Hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian, lý thuyết cơ bản

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...