Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

1) Dạng 1: Đường thẳng song song với mặt phẳng

*) $d\parallel (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_d}.\overrightarrow{n_P}=0$.

*) Nếu $d\parallel (P)$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTCP của (P) và $\overrightarrow{n_P}$ là VTPT của d.

Ví dụ 1: (Sở GD Bắc Ninh 2014) Cho mặt phẳng (P):x-3y+4z-1=0, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và điểm $A(3;1;1)$. Tìm $B\in d$ sao cho $AB\parallel (P)$, viết phương trình AB.\\
ĐS: $B(1;-1;0);AB:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$

Ví dụ 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm-Quảng Nam 2013) Tìm $A\in d_1:\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z+1}{3}$ và $B\in d_2:\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{4}$ sao cho AB song song với các mặt phẳng (P):x+4y-z-2=0, (Q):3x-4y+9z+1=0. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A,B.\\
ĐS: $A(-3;-1;2),B(5;-4;-2);AB:\dfrac{x+3}{8}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{-4}$

Ví dụ 3: (Trần Quốc Tuấn-Phú Yên 2013) Tìm $A\in d_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{2}$ và $B\in d_2:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ sao cho $AB=\sqrt{2}$ và $AB\parallel (P):x-y+z+2012=0$.\\
    \textbf{ĐS: $A(0;0;0),B(-1;0;1)$ hoặc $A\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{4}{7};\dfrac{8}{7}\right),B\left(\dfrac{1}{7};-\dfrac{4}{7};\dfrac{3}{7}\right)$}

Ví dụ 4: (Chuyên ĐH Vinh 2014 L1) Cho M(1;1;0) và $d_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-1}{1}, d_2:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-2}{-3}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với $d_1,d_2$, đồng thời cách M một khoảng bằng $\sqrt{6}$.\\
ĐS: $(P):x+2y+z+3=0$ hoặc $(P):x+2y+z-9=0$
Ví dụ 5: (Chuyên Hà Tĩnh 2015) Cho điểm $A(-2;1;5)$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$, vuông góc với $(P)$ và song song với $d$.\\
ĐS: $(Q):x-2z+12=0$

2) Dạng 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

*) $d\perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{v_d}\parallel\overrightarrow{n_P}$.

*) Nếu $d\perp (P)$ thì $\overrightarrow{v_d}$ là VTPT của (P) và $\overrightarrow{n_P}$ là VTCP của d.

Ví dụ 6: (Đại học Khối B 2014) Cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
ĐS: $(P):2x+2y-z-3=0$

Ví dụ 7: (Đặng Thúc Hứa-Nghệ An 2013) Tìm $A\in Ox$ và $B\in d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ sao cho $AB\perp (P):2x+y-2z-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua A,B.
ĐS: $A(1;0;0),B(-1;-1;2)\Rightarrow AB:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2}$

3) Dạng 3: Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

*) $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\subset (P)\Leftrightarrow M(x_0;y_0;z_0)\in (P)$ và $\overrightarrow{v_d}(a;b;c)$ là VTCP của (P).

*) Nếu $d\subset (P)$ thì $\overrightarrow{n_P}$ là VTPT của d.

*) (P) chứa $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ và A có VTPT là $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{v_d}]$ với $M(x_0;y_0;z_0)$.

Ví dụ 8: (Chuyên ĐH Vinh 2015 L2) Cho điểm $M(-2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và chứa $\Delta$.
ĐS: $(P):x-7y-4z+9=0$

Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng $d_1:\begin{cases}
    x=1-t\\ y=t\\ z=-t
    \end{cases}, d_2:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua $d_1$ và song song với $d_2$.
ĐS: $(P):y+z=0$

Ví dụ 10: (Đại học Khối A 2014) Cho mặt phẳng (P):2x+y-2z-1=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+3}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d và vuông góc với (P).
ĐS: $(\alpha):x+8y+5z+13=0$

4) Dạng 4: Đường thẳng cắt mặt phẳng

*) Giao điểm của $d:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ và (P) là điểm $M(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)\in d$ thỏa mãn phương trình của (P).

*) Để tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P), ta viết phương trình đường thẳng MH qua M và nhận $\overrightarrow{n_P}$ làm VTCP. Khi đó H là giao điểm của đường thẳng MH và mặt phẳng (P).

Ví dụ 11: (Đa Phúc-Hà Nội 2015 L2) Cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-2}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+z-2=0$. Tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ và $(P)$.
ĐS: $M(3;1;1)$

Ví dụ 12: (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2015 L2) Cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và điểm $A(1;-1;2)$. Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $(P)$.
ĐS: $A'(-1;3;-2)$

Ví dụ 13: (Phan Đăng Lưu-Nghệ An 2014) Cho hai mặt phẳng (P):x-2y+z=0,(Q):x-3y+3z+1=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M nằm trong mặt phẳng (P), song song với (Q).
ĐS: $\Delta:\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+1}{1}$
Ví dụ 14: (Chuyên Nguyễn Huệ-Hà Nội 2013 L2) Cho mặt phẳng (P):x+y+z+2=0 và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M(3;0;-3) cắt đường thẳng d và mặt phẳng (P) tại A và B sao cho M là trung điểm AB.\\
ĐS: $A(5;-1;-2),B(1;1;-4); AB:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+3}{1}$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt phẳng

Hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian, lý thuyết cơ bản

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...