Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Công thức tính diện tích, thể tích

1. Tính diện tích hình phẳng.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a;x=b\)

    a b > x ^ y

     \(S=\int^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) là 

    ^ > a b f(x) g(x)

     \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\)

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) là 

     \(S=\int^b_a\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\right|dy\)  

Ví du: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^3-x\) và \(y=x-x^2\)

Giải: Ta xét hiệu hai hàm \(f_1\left(x\right)=x^3-x\) và \(f_2\left(x\right)=x-x^2\) là:

    \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=x^3+x^2-2x=x\left(x^2+x-2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Ta có \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\) bằng 0 tại 3 điểm có hoành độ là -2; 0; 1. Vậy diện tích hình giới hạn bởi hai đồ thị là:

  \(S=\int\limits^1_{-2}\left|x^3+x^2-2x\right|\text{d}x=\left|\int\limits^0_{-2}\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|+\left|\int\limits^1_0\left(x^3+x^2-2x\right)\text{d}x\right|\)

     \(=\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^0_{-2}\right|+\left|\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right)|^1_0\right|\)

    \(=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\)

2. Thể tích của vật thể

Một vật thể \(\Omega\) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =a , x = b ( a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại hoành độ x ( a < x < b) và cắt \(\Omega\) theo thiết diện S(x) (hàm phụ thuộc vào hoành độ x) và là hàm liên tục theo biến x trên [a, b]. Khi đó thể tích của \(\Omega\) là (thừa nhận):

     \(V=\int\limits^b_aS\left(x\right)\text{d}x\)

> P Q x S(x) a b

Ví dụ: Tính thể tích hình lăng trụ biết diện tích đáy là B và chiều cao h (xem hình vẽ)

^ x S(x) = B ^ > h O

Áp dụng công thức ở trên:

    \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0B\text{d}x=B.x|^h_0=B.h\)

3. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a) Khối chóp

Tính thể tích hình chóp có diện tích đáy B và chiều cao h (xem hình vẽ dưới)

S B O ^ x h S(x) x

Ta có thiết diện và đáy tỉ lệ với x/h => Diện tích thiết diện và diện tích đáy tỉ lệ với (x/h)2 (do diện tích bằng tích hai độ dài).

Hay là: \(\frac{S\left(x\right)}{B}=\frac{x^2}{h^2}\) => \(S\left(x\right)=\frac{B.x^2}{h^2}\)

Theo công thức tính thể tích:

   \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0\frac{B.x^2}{h^2}\text{d}x=\frac{B}{h^2}.\frac{x^3}{3}|^h_0=\frac{B.h}{3}\)

b) Khối chóp cụt:

Thể tích khối chóp cụt có diện tích đáy dưới là \(B_1\) , diện tích đáy trên là \(B_2\)  và chiều cao là h:

S B O ^ x h 1 B 2 h 2 1

\(V=\int\limits^{h_1}_{h_2}\frac{B_1x^2}{h_1^2}\text{d}x=\frac{B_1}{h_1^2}.\frac{x^3}{3}|^{h_1}_{h_2}=\frac{B_1}{3h_1^2}\left(h_1^3-h_2^3\right)\)

   \(=\frac{B_1\left(h_1-h_2\right)}{3}\frac{\left(h_1^2+h_1h_2+h_2^2\right)}{h_1^2}\)

Thay \(h_1-h_2=h\) và \(\left(\frac{h_2}{h_1}\right)^2=\frac{B_2}{B_1}\) ta có:

   \(V=\frac{h}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\)

Chú ý: có thể tích thể tích khối chóp cụt bằng hiệu hai thể tích khối chóp to (đáy B1) và khối chóp bé (đáy B2) cũng ra được công thức trên.

4. Tính thể tích khối tròn xoay.

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) quanh trục Ox là 

     \(V_x=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\)  (vì thiết diện là hình tròn bán kính \(f\left(x\right)\))

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) (trong đó \(f\left(x\right)\)\(g\left(x\right)\) cùng dấu) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) quanh trục Ox là 

     \(V_x=\pi\int\limits^b_a\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx\) (vì thiết diện là hình miệng giếng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính lần lượt là \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\))

 • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g\left(y\right)\)), trục hoành và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) quanh trục Oy là 

     \(V_y=\pi\int\limits^b_ag^2\left(y\right)dy\)

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\pi\). Hãy tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình này quanh trục Ox.

0 > ^ x y

Giải: Thể tích của khối tròn xoay là:

    \(V=\pi\int\limits^{\pi}_0\sin^2x\text{d}x\)

        \(=\pi\int\limits^{\pi}_0\frac{1}{2}\left(1-\cos2x\right)\text{d}x=\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin2x\right)|^{\pi}_0=\frac{\pi^2}{2}\)

Các ví dụ khác

Ví dụ 1: (Hai Bà Trưng-Huế 2015 L3) 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(x=\ln 3;x=\ln 8;y=0;y=\sqrt{e^x+1}\).
ĐS: \(S=2+\ln 3-\ln 2\) (đvdt)
Ví dụ 4: (Quỳnh Lưu 3-Nghệ An 2015) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\ln x; y=0;x=e\).
ĐS: S=1 (đvdt)
Ví dụ 5: (Lê Xoay-Vĩnh Phúc 2015 L4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=x^3+x^2-2x\) và trục hoành.
ĐS: \(S=\dfrac{37}{12}\) (đvdt)

 

Ví dụ 6: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng \(H=\{y=x\ln x; y=0; x=1; x=e\}\) quay quanh Ox.
ĐS: \(V=\dfrac{\pi}{27}(5e^3-3)\) (đvtt)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

Ứng dụng tích phân

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...