Hệ tọa độ trong không gian

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Hệ tọa độ, tọa độ của một điểm, tọa độ của một vec tơ

1. Hệ tọa độ:

Ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các trục đó lần lượt lấy các vec tơ đơn vị \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Ta có: \(\begin{cases}\overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2=1\\\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0\end{cases}\)

> ^ > y x z > i > > j > ^ k >

2. Tọa độ của một điểm:

Với một điểm M bất kì, nối OM ta được vec tơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{OM}\) có thể biểu diễn bởi:

      \(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)

Khi đó bộ ba số (x ; y ; z) được gọi là tọa độ của điểm M trong không gian.

> ^ > > i > > j > ^ k > > z y x M O

3. Tọa độ của vec tơ

Một vec tơ \(\overrightarrow{v}\) trong không gian luôn biểu diễn được thành tổng của ba thành phần \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) như sau:

     \(\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}\)

Khi đó bộ ba (a ; b ; c) được gọi là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\).

Chú ý:

- Ta có thể dời vec tơ \(\overrightarrow{v}\) sao cho điểm đầu trùng với gốc O của hệ tọa độ (\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\), khi đó tọa độ của điểm cuối M chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\) (xem hình vẽ dưới)

> ^ > > > ^ > c b a M O > v >

- Tọa độ của điểm N bất kì cũng chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{ON}\)

II. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vec tơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó:

• Hai vectơ bằng nhau :

      \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}\)

• Các phép toán vectơ :

   \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)\)

   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)\)

    \(k\overrightarrow{a}=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right)\)

• Vec tơ \(\overrightarrow{0}\) có tọa độ là (0 ; 0 ; 0).

• Với \(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) thì nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\)  , hay là:

       \(\begin{cases}a_1=k.b_1\\a_2=k.b_2\\a_3=k.b_3\end{cases}\)

• Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì vectơ \(\overrightarrow{AB}\)  và \(\overrightarrow{BA}\) sẽ có tọa độ như sau:

     \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)\)

    \(\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B\right)\)

• Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì tọa độ trung điểm M của AB là:

      \(\begin{cases}x_M=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right)\\y_M=\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right)\\z_M=\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)\end{cases}\)

• Với 3 điểm bất kỳ  \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\)\(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) và \(C\left(x_C;y_C;z_C\right)\) thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

      \(\begin{cases}x_G=\frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right)\\y_G=\frac{1}{3}\left(y_A+y_B+y_C\right)\\z_G=\frac{1}{3}\left(z_A+z_B+z_C\right)\end{cases}\)

III. Tích vô hướng của hai vec tơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó:

• Tích vô hướng của hai vectơ là một số xác định bởi công thức sau:

      \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

Ứng dụng: 

• Hai vectơ vuông góc :\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\)

• Độ dài vectơ : \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a^2_2+a^3_3}\)

• Góc giữa hai vectơ : \(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\)

• Khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\)  là:

     AB = \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\)

IV. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính r là tập các điểm M(x; y; z) cách I một khoảng r, khi đó x, y, z thỏa mãn:

   \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2\)

Chứng minh:

    Vì \(IM=\left|\overrightarrow{IM}\right|=r\) nên:

    \(\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2}=r\)

Bình phương hai vế ta được phương trình mặt cầu ở trên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hệ tọa độ trong không gian

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...