Tính nguyên hàm - tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

I. Dạng tổng quát

Tính tích phân \(I=\int\limits^b_au\left(x\right).v'\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(\begin{cases}u=u\left(x\right)\\dv=v'\left(x\right)dx\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}du=u'\left(x\right)dx\\v=\int v'\left(x\right)dx\end{cases}\) Chọn \(C=0\)

• Khi đó \(I=uv|^b_avdu\)

Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau:

\(I=\int\left\{P\left(x\right);e^x\right\}dx,u=P\left(x\right)\)

\(I=\int\left\{P\left(x\right);\sin x,\cos x,\frac{1}{\cos^2x},\frac{1}{\sin^2x}\right\}dx:u=P\left(x\right)\)

\(I=\int\left\{P\left(x\right);\ln x\right\}dx;u=\ln x\)

\(I=\int\left\{e^x;\sin x,\cos x\right\}dx;u=ex\) hoặc u = sin x, cos x  

Công thức tích phân từng phân:

 \(\boxed{\displaystyle\int udv=uv-\int vdu;\int\limits_a^b udv=\left.uv\right|_a^b-\int\limits_a^b vdu} \)

Chú ý: \(\boxed{u=u(x)\Rightarrow du=u'(x)dx; dv=f(x)dx\Rightarrow v=\displaystyle\int f(x)dx}\)

II. Các dạng tính tích phân từng phần

1) Dạng 1: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm mũ

\(\displaystyle\int P(x)e^{ax+b}dx\Rightarrow \begin{cases} u=P(x)\\ dv=e^{ax+b}dx \end{cases}\)

Ví dụ 1: (Đồng Thọ-Tuyên Quang 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int (x+2015)e^xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 (x+2015)e^xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x+2015\\ dv=e^xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx\\ v=e^x \end{cases}\), Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=(x+2015)e^x-\int e^xdx=(x+2015)e^x-e^x+C=(x+2014)e^x+C\)

\(\displaystyle J=(x+2015)e^x\Big|_0^1-\int\limits_0^1 e^xdx=2016e-2015-e^x\Big|_0^1=2015e-2014\)

Ví dụ 2:  Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{x^2}{e^x}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \dfrac{x^2}{e^x}dx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x^2\\ dv=e^{-x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2xdx\\ v=-e^{-x} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=-x^2e^{-x}+\underbrace{\int2xe^{-x}dx}_{I_1};\displaystyle J=-x^2e^{-x}\Big|_0^1+\underbrace{\int\limits_0^1 2xe^{-x}dx}_{J_1}=-e^{-1}+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=2x\\ dv=e^{-x} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2dx\\ v=-e^{-x} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=-2xe^{-x}+\int2e^{-x}dx=-(2x+2)e^{-x}+C;\\ \displaystyle J_1=-2xe^{-x}\Big|_0^1+\int\limits_0^12e^{-x}dx=-2e^{-1}-2e^{-x}\Big|_0^1=2-4e^{-1}\)

Vậy

\(I=-(x^2+2x+2)e^{-x}+C,J=2-5e^{-1}\)

2) Dạng 2: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm lượng giác

\(\displaystyle\int P(x). \left| \begin{array}{c} \sin \\ \cos \end{array}\right|(ax+b)dx\Rightarrow \begin{cases} u=P(x)\\ dv=\left|\begin{array}{c} \sin \\ \cos \end{array} \right|(ax+b)dx \end{cases}\)

Ví dụ 3: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L3)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \cos x(x-2\sin x)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x(x-2\sin x)dx\).

Lời giải

Ta có

\(\displaystyle I=\underbrace{\int x\cos xdx}_{I_1}-\int \sin 2xdx=I_1+\dfrac{\cos2x}{2}+C_1\)

\(\displaystyle J=\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos xdx}_{J_1}-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2xdx=J_1+\dfrac{\cos2x}{2}\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=J_1-1\)

Đặt \(\begin{cases} u=x\\ dv=\cos x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=dx\\ v=\sin x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C_2\)

\(\displaystyle J_1=x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx=\dfrac{\pi}{2}+\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}-1\)

Vậy 

\(I=x\sin x+\cos x+\dfrac{\cos 2x}{2}+C,J=\dfrac{\pi}{2}-2\)

Ví dụ 4: Tính tích phân \(\displaystyle I=\int (x^2+1)\sin xdx\)\(\displaystyle J=\int\limits_0^\pi (x^2+1)\sin xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=x^2+1\\ dv=\sin xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2x\\ v=-\cos x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=-(x^2+1)\cos x+\underbrace{\int2x\cos xdx}_{I_1};J=-(x^2+1)\cos x\Big|_0^\pi+\underbrace{\int\limits_0^\pi2x\cos xdx}_{J_1}=\pi^2+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=2x\\ dv=\cos xdx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=2dx\\ v=\sin x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=2x\sin x-\int 2\sin xdx=2x\sin x+2\cos x+C\)

\(\displaystyle J_1=2x\sin x\Big|_0^\pi-\int\limits_0^\pi 2\sin xdx=2\cos x\Big|_0^\pi=-2\)

Vậy

\(I=-(x^2-1)\cos x+2x\sin x+C,J=\pi^2-2\)

3) Dạng 3: Tính tích phân của tích giữa hàm đa thức và hàm logarit

\(\displaystyle\int f(x)(\ln x)^n dx\Rightarrow \begin{cases} u=(\ln x)^n\\ dv=f(x)dx \end{cases}\)

Ví dụ 5: (Đồng Lộc-Hà Tĩnh 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(e^{2x}+\ln(x+3)\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(e^{2x}+\ln(x+3)\right)dx\).

Lời giải

Ta có

\(\displaystyle I=\dfrac{e^{2x}}{2}+\underbrace{\int\ln(x+3)dx}_{I_1},J=\dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1+\underbrace{\int\limits_0^1\ln(x+3)dx}_{J_1}=\dfrac{e^2-1}{2}+J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=\ln(x+3)\\ dv=dx \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} du=\dfrac{1}{x+3}dx\\ v=x \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=x\ln(x+3)-\int\dfrac{x}{x+3}dx=x\ln(x+3)-\int \left(1-\dfrac{3}{x+3}\right)dx=(x+3)\ln(x+3)-x+C\)

\(\displaystyle J_1=x\ln(x+3)\Big|_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{x}{x+3}dx=\ln 4-\int\limits_0^1 \left(1-\dfrac{3}{x+3}\right)dx=\ln 4-\left(x-3\ln(x+3)\right)\Big|_0^1=4\ln 4-3\ln 3-1\)

Vậy

 \(I=\dfrac{e^{2x}}{2}+(x+3)\ln(x+3)-x+C,J=\dfrac{e^2-3}{2}+4\ln 4-3\ln 3\)

Ví dụ 6: (Đại học khối D-2007)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int x^3\ln^2 xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e x^3\ln^2 xdx\).

Lời giải

Đặt \(\begin{cases} u=\ln^2 x\\ dv=x^3dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\dfrac{2\ln x}{x}\\ v=\dfrac{x^4}{4} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}-\underbrace{\int\dfrac{x^3\ln x}{2}dx}_{I_1},J=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}\Big|_1^e-\underbrace{\int\limits_1^e\dfrac{x^3\ln x}{2}dx}_{J_1}=\dfrac{e^4}{4}-J_1\)

Đặt \(\begin{cases} u=\ln x\\ dv=\dfrac{x^3}{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=\dfrac{1}{x}dx\\ v=\dfrac{x^4}{8} \end{cases}\). Theo công thức tích phân từng phần thì

\(\displaystyle I_1=\dfrac{x^4\ln x}{8}-\int \dfrac{x^3}{8}dx=\dfrac{x^4\ln x}{8}-\dfrac{x^4}{32}+C_1\)

\(\displaystyle J_1=\dfrac{x^4\ln x}{8}\Big|_1^e-\int\limits_1^e \dfrac{x^3}{8}dx=\dfrac{e^4}{8}-\dfrac{x^4}{32}\Big|_1^e=\dfrac{3e^4+1}{32}\)

Vậy

\(I=\dfrac{x^4\ln^2 x}{4}-\dfrac{x^4\ln x}{8}-\dfrac{x^4}{32}+C,J=\dfrac{5e^4-1}{32}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương pháp tính tích phân từng phần

Các bài toán tích phân có nhiều cách giải

Hỏi đáp

Câu 2 (Gửi bởi nguyen thao vy)
Trả lời
6
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...