Tính nguyên hàm - tích phân bằng phương pháp đổi biến số

1. Phương pháp đổi biến dạng 1.

Bài toán. Tính tích phân 

\(I=\int\limits^b_af\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(x=\varphi\left(t\right)\Rightarrow dx=\varphi'\left(t\right)dt\)

• Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó \(I=\int\limits f^{\beta}_{\alpha}\left(\varphi\left(t\right)\right)\varphi'\left(t\right)dt\)

Các trường hợp cần lưu ý khi đổi biến:

\(a^2+x^2:x=\left|a\right|\tan x,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)

• \(\sqrt{a^2-x^2}:x=\left|a\right|\sin t,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)

• \(\sqrt{x^2-a^2}:x=\frac{\left|a\right|}{\sin t},t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)\\(\left\{0\right\}\)

2. Phương pháp đổi biến dạng 2.

Bài toán. Tính tích phân 

\(I=\int\limits^b_af\left[u\left(x\right)\right]u'\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(u=u\left(x\right)\Rightarrow du=u'\left(x\right)dx\)

• Đổi cận: \(x=a\Rightarrow u=u\left(a\right);x=b\Rightarrow u=u\left(b\right)\)\(I=\int\limits^b_af\left(u\right)du\)

• Khi đó 

Lưu ý. \(u\left(x\right)\) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit

Công thức đổi biến số: 

\(t=\varphi(x)\Rightarrow dt=\varphi'(x)dx\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\int f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F(\varphi(x))+C\\ \displaystyle\int\limits_a^b f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi (b)}f(t)dt \end{cases}\)

Dạng 1: Tính nguyên hàm-tích phân của biểu thức chứa căn. 

Đặt \(t=\sqrt{f(x)}\Rightarrow t^2=f(x)dx\Rightarrow 2tdt=f'(x)dx\)
Ví dụ 1: (Đa Phúc-Hà Nội 2015 L2) 

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int x\sqrt{1+3x}dx\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 x\sqrt{1+3x}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{2}{45}\sqrt{(1+3x)^5}-\dfrac{2}{27}\sqrt{(1+3x)^3}+C, J=\dfrac{116}{135}\)

Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong-TP HCM 2015 L2)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\).
ĐS: \(I=\dfrac{\sqrt{(1+3x^2)^3}}{9}+xe^x-e^x+C, J=\dfrac{16}{9}\)

Ví dụ 3: (Tĩnh Gia-Thanh Hóa 2015) 

Tính nguyên hàm \(I=\displaystyle\int \dfrac{3xdx}{x+\sqrt{x^2+4}}\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\sqrt{(x^2+4)^3}-\dfrac{x^3}{4}+C\)
Dạng 2: Tính nguyên hàm-tích phân biểu thức hàm lũy thừa. Đặt \(t=x^\alpha\Rightarrow dt=\alpha x^{\alpha-1}dx\)
Ví dụ 4: (Đại học Khối B-2012)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\) và \(\displaystyle I=\int\limits_0^1 \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\).
ĐS: \(I=\ln|x^2+2|-\dfrac{1}{2}\ln |x^2+1|+C,J=\ln 3-\dfrac{3}{2}\ln 2\)

Ví dụ 5: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L2)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\).

 ĐS: \(I=(x-1)e^x+\dfrac{1}{5}\ln |x^5+1|+C, J=1+\dfrac{\ln 2}{5}\)
Dạng 3: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa hàm mũ. Đặt \(t=e^x\Rightarrow dt=e^xdx\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{t}\)

Ví dụ 6:  (Gia Viễn A-Ninh Bình 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int e^x\sqrt{5-e^x}dx\) và \(\displaystyle J=\int_2^7e^x\sqrt{5-e^x}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{2\sqrt{(5-e^x)^3}}{3}+C,J=\dfrac{16}{3}-2\sqrt{3}\)

Ví dụ 7: (Chuyên Bến Tre 2015 L2) 

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\).

ĐS: \(I=\dfrac{1}{2}\ln \left(e^{2x}+1\right)+C,J=\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{e^2+1}{2}\)
Dạng 4: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa logarit. Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx\)

Ví dụ 8: (Cù Huy Cận-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{\ln^3 x}{3}+C,J=\dfrac{e^3}{3}\)
Ví dụ 9: (Bảo Thắng 2-Lào Cai 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\ln^2 |x|-\dfrac{1}{4}\ln |x|+\dfrac{1}{8}\ln |1+2\ln x|+C, J=\dfrac{1}{8}\ln 3\)

 

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức lượng giác:

  1. \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
  2. \(\sin 2x=2\sin x.\cos x\)
  3. \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x\)
  4. \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
  5. \(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}\)

Dạng 5: Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx, t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\)
Ví dụ 10: (Nguyễn Văn Trỗi-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \sin 2x.\cos^2 xdx\) và \(J=\int\limits_0^{\pi}\sin 2x.\cos^2 xdx\).
ĐS: \(I=-\dfrac{\cos^4 x}{2}+C,J=0\)
Ví dụ 11: (
Sở GD Thanh Hóa 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\)và \(\displaystyle J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\).

ĐS: \(I=(1-x)\cos x-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C,J=\dfrac{4}{3}\)

Ví dụ 12: (Đại học Khối B 2003

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\) và \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\).

Dạng 6: Đặt \(t=\tan x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{\cos^2 x}dx, t=\cot x\Rightarrow dt=-\dfrac{1}{\sin^2 x}dx\)
Ví dụ 13: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\).
ĐS: \(I=\ln|\tan x|+\dfrac{1}{2}\tan^2 x+C,J=\ln 3+\dfrac{4}{3}\)

Ví dụ 14: (Nguyễn Huệ-Quảng Nam 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\).

 ĐS: \(I=\dfrac{1}{2}\ln |\cot x-1|+\dfrac{1}{2}\ln |\cot x+1|+C,J=\dfrac{\ln 2}{2}\)
Dạng 7: Đặt \(t=\sin x\pm \cos x\Rightarrow dt=(\cos x\mp \sin x)dx\)

Ví dụ 15 (Đại học Khối B-2008) Tính tích phân

\(I=\displaystyle\int \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)}+C,J=\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4}\)

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Các bài toán tích phân có nhiều cách giải

Hỏi đáp

Câu 1 (Gửi bởi Minh Đức)
Trả lời
0
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...