Tính đơn điệu của hàm số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1: Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\) là hàm số xác định trên K.

• Hàm số \(f\) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\), \(x_1\) < \(x_2\)\(f\left(x_1\right)\) < \(f\left(x_2\right)\)

• Hàm số \(f\) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\),  \(x_1\) < \(x_2\) ⇒ \(f\left(x_1\right)\) > \(f\left(x_2\right)\)

Lưu ý.

• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

Định lý 1 : Cho hàm số y = \(f\left(x\right)\)) có đạo hàm trên khoảng I.

• Nếu \(f'\left(x\right)\) > 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I;

• Nếu \(f'\left(x\right)\) < 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên I;

• Nếu \(f'\left(x\right)\) = 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) không đổi trên I.

Lưu ý.

• Nếu \(f'\left(x\right)\) $\geq $ 0 , ∀x ∈ I và \(f'\left(x\right)\)= 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I.

• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số y = \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó"

B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

  • Tìm tập xác định.
  • Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định.
  •  Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.

• Tìm tập xác định \(D_f\) .

• Tính y' và chỉ ra \(y'\ge0\), ∀x ∈ \(D_f\) (hoặc \(y'\le0\), ∀x ∈ \(D_f\) ). 

C. Các dạng bài tập :

Dạng 1 :

Ví dụ 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số :

\(y=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+2\)

Bài giải :

Tập xác định : \(D=R\)

Ta có : \(y'=x^2-2x-3,y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\)

Lập bảng biến thiên :

x y' y - 8 8 -1 3 8 + + - + 0 0 - 8 11 3 -7 + 8

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-1;3\right)\)

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)=x+\cos^2x\) đồng biến trên R

Bài giải :

Tập xác định \(D=R\)

Ta có \(f'\left(x\right)=1-\sin2x;f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\)

Cách 1 : Hàm số \(f\) liên tục trên mỗi đoạn \(\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right]\) và có đạo hàm \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\)

Do đó hàm đồng biến trên mỗi đoạn \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\)

Vậy hàm đồng biến trên R

Cách 2 : Vì \(f'\left(x\right)=0\) tại vô hạn điểm nên ta chưa kết luận được tính đơn điệu của hàm số 

Ta chứng minh hàm số nghịch biến theo định nghĩa.

Với mọi \(x_1,x_2\in R,x_1\)<\(x_2\) khi đó sẽ tồn tại khoảng (a,b) chứa \(x_1,x_2\) ( chẳng hạn khoảng \(\left(x_1-1,x_2+1\right)\))

Ta có \(f'\left(x\right)\ge0,\)với mọi \(x\in\left(a,b\right)\) và \(f'\left(x\right)=0\) có hữu hạn nghiệm trên (a,b). Do đó, hàm số đồng biến trên (a,b) suy ra \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

Ta đã chứng minh được mọi \(x_1,x_2\in R\) mà \(x_1\) <\(x_2\) thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

Hay hàm số đã cho đồng biến trên R

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số : \(y=x^3-3mx^2+3\left(2m+3\right)x+1\) nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Bài giải :

Tập xác định R

Ta có \(y'=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)=3\left[x^2-2mx+\left(2m+3\right)\right]\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) khi và chỉ khi \(y'\le0\), mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

hay \(f\left(x\right)=x^2-2mx+\left(2m+3\right)\le0\left(1\right)\)mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Cách 1 : Ta có (1) \(\Leftrightarrow2m\left(x-1\right)\ge x^2+3\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+3}{2x-2}\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{x^2+3}{2x-2}\)\(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

                    \(g'\left(x\right)=\frac{2x\left(2x-2\right)-2\left(x^2+3\right)}{\left(2x-2\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-6\right)}{\left(2x-2\right)^2}<0\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Bảng biến thiên : 

x g'(x) g(x) -1 2 1 2 -13 12 -13 4

Từ bảng biến thiên suy ra \(m\le-\frac{13}{4}\) là giá trị cần tìm

Cách 2 :

Dễ thất nếu \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kéo thì \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi x, khi đó không có giá trị nào m thỏa mãn

Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

\(x_1,x_2,\) (\(x_1\)<\(x_2\))\(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-2m-2>0\) \(\Leftrightarrow m>3\) hoặc \(m<-1\)

Khi đó \(f\left(x\right)\le0\), với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)\(\Leftrightarrow\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\subset\left[x_1;x_2\right]\Leftrightarrow x_1\le-\frac{1}{2}\)<\(\frac{1}{2}\le x_2\)

                                                                       \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)\le0\\\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)\le0\end{cases}\)
                                                                       \(\Leftrightarrow\begin{cases}4x_1x_2-2\left(x_1+x_1\right)+1\le0\\4x_1x_2+2\left(x_1+x_1\right)+1\le0\end{cases}\)
Theo định lí Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m+3\end{cases}\) do đó \(\begin{cases}4\left(2m+3\right)-4m+1\le0\\4\left(2m+3\right)+4m+1\le0\end{cases}\)
                                         \(\Leftrightarrow m\le-\frac{13}{4}\)
Vậy \(m\le-\frac{13}{4}\) là giá trị cần tìm
                                                                       

Tài liệu đọc thêm

Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...