Một số dạng tích phân đặc biệt

1. Tích phân trị tuyệt đối.

Bài toán. Tính tích phân \(I=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|dx\)

Phương pháp.

• Cho \(f\left(x\right)=0\Rightarrow x=x_i\) (chỉ lấy những \(x_i\) thuộc khoảng (a; b)).

• Khi đó \(I=\int\limits^{x_i}_a\left|f\left(x\right)\right|dx+\int\limits^b_{x_i}\left|f\left(x\right)\right|dx\)

• Xét dấu \(f\left(x\right)\) trên các khoảng (\(a;x_1\)) và (\(x_1;b\)) để phá giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tính \(\int\limits^2_{-1}\left|x-1\right|dx\)

Giải: \(\int\limits^2_{-1}\left|x-1\right|dx=\int\limits^1_{-1}\left|x-1\right|\text{d}x+\int\limits^2_1\left|x-1\right|\text{d}x\)

       \(=\int\limits^1_{-1}\left(1-x\right)\text{d}x+\int\limits^2_1\left(x-1\right)\text{d}x\)  (vì trên [-1; 1] ta có |x -1| = 1 - x; còn trên đoạn [1; 2] thì |x - 1| = x - 1)

      \(=-\int\limits^1_{-1}\left(1-x\right)\text{d}\left(1-x\right)+\int\limits^2_1\left(x-1\right)\text{d}\left(x-1\right)\)

      \(=-\frac{1}{2}\left(1-x\right)^2|^1_{-1}+\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2|^2_1\)

      \(=-\frac{1}{2}\left[0-4\right]+\frac{1}{2}\left[1-0\right]=\frac{5}{2}\)

Ví dụ 2: Tính \(I=\int\limits^4_0\left|x^2-7x+12\right|\text{d}x\)      

Giải: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn [0;4]. Ta có \(x^2-7x+12\) có 2 nghiệm là 3 và 4. 

Vậy \(x^2-7x+12\ge0\)  trên các đoạn [0;3]   và \(x^2-7x+12\le0\) trên đoạn [3; 4]. 

Suy ra:

    \(I=\int\limits^3_0\left(x^2-7x+12\right)\text{dx}+\int\limits^4_3\left(-x^2+7x-12\right)\text{d}x\)

     \(=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+12x\right)|^3_0+\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-12x\right)|^4_3\)

     \(=\frac{41}{3}\)

2. Tích phân hữu tỷ.

Bài toán : Tính tích phân \(I=\int\limits^b_a\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx\), trong đó bậc \(f\left(x\right)\)<\(g\left(x\right)\)

Phương pháp.

Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.

Lưu ý.

a) Nếu bậc \(f\left(x\right)\)>\(g\left(x\right)\) thì chia  \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\)

b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau :

• \(\frac{ax+b}{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}=\frac{A}{\left(x-x_1\right)}+\frac{B}{\left(x-x_2\right)}\)

\(\frac{ax+b}{\left(x-x_0\right)^2}=\frac{A}{\left(x-x_0\right)}+\frac{B}{\left(x-x_0\right)^2}\)

\(\frac{ax^2+bx+c}{\left(a_1x+b\right)\left(a_2x^2+b_2x+c_2\right)}=\frac{A}{a_1x+b_1}+\frac{B}{a_2x^2+b_2x+c_2}+\frac{C\left(2a_2x+b_2\right)}{a_2x^2+b_2x+c_2}\)(tam thức vô nghiệm).

Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc trị số riêng để tìm A, B, C, ...

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm  \(I=\int\frac{2x^2-5x-3}{x^3+x^2-2x}\text{d}x\)

Giải:

  Ta có đa thức mẫu số phân tích được thành \(x^3+x^2-2x=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\), khi đó, dùng phương pháp hệ số bất định ta phân tích:

    \(\frac{2x^2-5x-3}{x^3+x^2-2x}\text{ }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

Qui đồng mẫu số vế phải, đồng nhất hệ số của hai vế ta tìm được A, B, C như sau:

 => \(\begin{cases}A=\frac{3}{2}\\B=-2\\C=\frac{5}{2}\end{cases}\)

Do đó:

  \(I=\int\frac{2x^2-5x-3}{x^3+x^2-2x}\text{d}x=\frac{3}{2}\int\frac{1}{x}\text{d}x-2\int\frac{1}{1-x}\text{d}x+\frac{5}{2}\int\frac{1}{x+2}\text{d}x\)

     \(=\frac{3}{2}\ln\left|x\right|-2\ln\left|x-1\right|+\frac{5}{2}\ln\left|x+2\right|+C\)

Ví dụ 2: Tính tích phân \(\int\limits^2_1\frac{\text{d}x}{x\left(x^3+1\right)}\)

Giải: mẫu số phân tích thành nhân tử là: \(x\left(x^3+1\right)=x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

=> Phân thức \(\frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-x+1}\)

Qui đồng mẫu số vế phải, đồng nhất hệ số của hai vế, ta có:

    \(1=A\left(x^3+1\right)+Bx\left(x^2-x+1\right)+\left(Cx+D\right)x\left(x+1\right)\)   (*)

Để tìm A, B, C, D có hai cách: 

Cách 1 : Đồng nhất hệ số của hai vế ta có: 

      \(1=\left(A+B+C\right)x^3+\left(-B+C+D\right)x^2+\left(B+D\right)x+A\)

   => \(\begin{cases}A+B+C=0\\-B+C+D=0\\B+D=0\\A=1\end{cases}\)  => \(\begin{cases}A=1\\B=-\frac{1}{3}\\C=-\frac{2}{3}\\D=\frac{1}{3}\end{cases}\)

 Cách 2: thay x bằng những giá trị đặc biệt để tìm A, B, C, D

   Cho x = 0 suy ra A = 1;

   Cho x = -1 suy ra B = -1/3

   Cho x =1; 2 được thêm hai đẳng thức để tìm C và D: C = -2/3; D = 1/3

Suy ra tích phân đã cho được tính như sau:

   \(\int\limits^2_1\frac{\text{d}x}{x\left(x^3+1\right)}=\int\limits^2_1\frac{\text{d}x}{x}-\frac{1}{3}\int\limits^2_1\frac{\text{d}x}{x+1}-\frac{1}{3}\int\limits^2_1\frac{2x-1}{x^2-x+1}\text{d}x\)

  \(=\left(\ln\left|x\right|-\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{3}\ln\left|x^2-x+1\right|\right)|^2_1=\frac{2}{3}\ln\frac{4}{3}\)

3. Tích phân vô tỷ

a) Tích phân chứa tổng hoặc hiệu hai căn ở mẫu:

    Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

Ví dụ: Tính \(\int\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\text{d}x\)

Giải:  \(\int\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\text{d}x=\int\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)}\text{d}x\)

      \(=\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}\text{d}x=\frac{1}{2}\int\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}x-\frac{1}{2}\int\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}x\)

     \(=\frac{1}{2}\int\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\int\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(x-1\right)\)

    \(=\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}+1}+C\)

    \(=\frac{1}{3}\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}+C\)

b) Tích phân chứa \(\sqrt{a^2-x^2}\)\(\sqrt{x^2-a^2}\) , \(\sqrt{x^2+a^2}\) , \(\sqrt{\frac{x+a}{a-x}}\), hoặc \(\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}\)

 Nếu tích phân chứa:

   *) \(\sqrt{a^2-x^2}\) , đặt x = a.sin t,  với \(t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)

   *) \(\sqrt{x^2-a^2}\) , đặt x = a/sint,  với t \(\in\) [0; \(\frac{\pi}{2}\)\(\cup\) [\(\pi;\frac{3\pi}{2}\))

  *) \(\sqrt{x^2+a^2}\) , đặt x = a.tant, với t \(\in\) [0; \(\frac{\pi}{2}\))

  *) \(\sqrt{\frac{x+a}{a-x}}\) , đặt x = a.cos2t, với \(t\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

  *) \(\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}\) , đặt x = a + (b-a)sin2t, với \(t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\)

Ví dụ: Tính \(\int\limits^1_0x.\sqrt{4-x^2}\text{d}x\)

Giải: đặt x = 2.sint => dx = 2.cost ;  \(x|^1_0\) => \(t|^{\frac{\pi}{6}}_0\)

    \(\int\limits^1_0x.\sqrt{4-x^2}\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_02\sin t\sqrt{4-4\sin^2t}.2.\cos t\text{d}t\) 

\(=8\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\sin t.\cos t.\cos t\text{d}t\) (chú ý, trên \(\left[0;\frac{\pi}{6}\right]\) thì |cost| = cost )

 \(=8\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\sin t.\cos^2t\text{d}t=-8\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\cos^2t\text{d}\left(\cos t\right)\)

  \(=-8.\frac{1}{3}\cos^3t|^{\frac{\pi}{6}}_0=-\frac{8}{3}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-1\right]=-\sqrt{3}+\frac{8}{3}\)

c) Đặt ẩn phụ, đưa về tích phân của ẩn phụ

Ví dụ: Tính \(\int\frac{x\text{d}x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}\)

Giải: Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\) => \(x^2=\left(t^2-1\right)^3\)

 => \(2x\text{d}x=6t\left(t^2-1\right)^2\text{d}t\) => \(x\text{d}x=3t\left(t^2-1\right)^2\text{d}t\)

=> \(\int\frac{x\text{d}x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2\text{d}t}{t}=3\int\left(t^2-1\right)^2\text{d}t\)

    \(=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)\text{d}t=3\left(\frac{t^5}{5}-\frac{2t^3}{3}+t\right)+C\)

    Thay t vào ta được nguyên hàm theo x.

4. Tích phân mũ - lôgarit 

Ví dụ: Tính \(I=\int\left(x^3+2x^2+3\right)e^{3x}\text{d}x\)

Ta thừa nhận  \(\int p\left(x\right).e^{ax}\) cũng là một biểu thức \(q\left(x\right).e^{ax}\) với q(x) là đa thức cùng bậc với p(x).

Vậy giả sử: 

  \(I=\int\left(x^3+2x^2+3\right)e^{3x}\text{d}x=\left(ax^3+bx^2+cx+d\right).e^{3x}+C\)

Khi đó, lấy đạo hàm 2 vế ta có:

   \(\left(x^3+2x^2+3\right).e^{3x}=\left[\left(3ax^2+2bx+c\right)+3\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)\right]e^{3x}\)

=> \(x^3+2x^2+3=3ax^3+\left(3a+3b\right)x^2+\left(2b+3c\right)x+\left(c+3d\right)\)

=> \(\begin{cases}1=3a\\2=3a+3b\\0=2b+3c\\3=c+3d\end{cases}\) => \(\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{1}{3}\\c=-\frac{2}{9}\\d=\frac{29}{27}\end{cases}\)

Vậy \(I=\int\left(x^3+2x^2+3\right)e^{3x}\text{d}x=\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{9}x+\frac{29}{27}\right).e^{3x}+C\)

5. Tích phân lượng giác

Ví dụ : Tính \(\int e^{5x-3}\sin\left(2x+1\right)\text{d}x\)

Giải: Ta nhận thấy 1 nguyên hàm của hàm trên cũng có dạng \(\left[A.\sin\left(2x+1\right)+B.\cos\left(2x+1\right)\right]e^{5x-3}\), khi đó ta có:

  \(\int e^{5x-3}\sin\left(2x+1\right)\text{d}x=\left[A.\sin\left(2x+1\right)+B.\cos\left(2x+1\right)\right].e^{5x-3}+C\)

Lấy đạo hàm hai vế ta có: 

 \(e^{5x-3}\sin\left(2x+1\right)\text{d}x=\left[2A.\cos\left(2x+1\right)-2B.\sin\left(2x+1\right)\right].e^{5x-3}+5\left[A.\sin\left(2x+1\right)+B.\cos\left(2x+1\right)\right].e^{5x-3}\)

\(e^{5x-3}\sin\left(2x+1\right)=\left[\left(2A+5B\right)\cos\left(2x+1\right)+\left(5A-2B\right)\sin\left(2x+1\right)\right].e^{5x-3}\)

=> \(\begin{cases}2A+5B=0\\5A-2B=1\end{cases}\) => \(\begin{cases}A=\frac{5}{29}\\B=-\frac{2}{29}\end{cases}\)

Vậy: \(\int e^{5x-3}\sin\left(2x+1\right)\text{d}x=\left[\frac{5}{29}\sin\left(2x+1\right)-\frac{2}{29}\cos\left(2x+1\right)\right]e^{5x-3}\)

Ví dụ 2: \(\int\limits^b_a\sin^mx\cos^nxdx\)  với các trường hợp:

• Nếu m lẻ thì đặt u = cos x.

• Nếu n lẻ thì đặt u = sin x.

• Nếu m, n dương chẵn thì hạ bậc.

• Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tan x.

• Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cot x. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Hỏi đáp

Câu 1 (Gửi bởi Sơn Vũ)
Trả lời
1
Câu 3 (Gửi bởi Hoàng Thúy Hằng)
Trả lời
0
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...