Thiết diện khối đa diện

1. Định nghĩa thiết diện

Cho khối đa diện T và mặt phẳng (P), phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).

 

2. Các kiến thức có liên quan

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.

 - Các cách xác định một mặt phẳng: Biết ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đường thẳng; hai đường thẳng song song.

 - Công thức tính diện tích tam giác:

 \(S_{ABC}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

- Công thức tính diện tích đa giác hình chiếu:

\(S_{H'}=S_Hcos\alpha\) với \(\alpha=\widehat{\left(\left(H\right);\left(H'\right)\right)}\)

- Các công thức tính thể tích các khối đa diện.

3. Một số bài toán tìm thiết diện

- Tính diện tích thiết diện.

- Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.

- Tìm thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước.

- Tìm tỉ số giữa hai khối được chia bởi thiết diện.

4. Một số phương pháp tìm thiết diện

1.  Phương pháp chung

Để tìm thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, ta tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa diện. Tuy nhiên đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.

2. Một số phương pháp xác định thiết diện

Dạng 1: Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng...:

Phương pháp: Trước tiên, tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (giao tuyến gốc).

Trên mặt phẳng này của T, tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.

          ...

Dạng 2: Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và song song với đường thẳng l, chéo nhau với đường thẳng d:

Phương pháp: Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định, dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l.

Cách dựng: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // l khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.

     

Dạng 3: Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l:

Phương pháp: Xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng.

           

Dạng 4: Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q):

Phương pháp: Dựa vào tính chất “Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song”.

Cách dựng: Lấy hai đường thẳng trong mặt phẳng (Q). Vẽ mặt phẳng qua M và các đường thẳng đó. Trên mặt phẳng ấy kẻ các đường thẳng d, d' qua M song song với hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng chứa cả đường thẳng d và d'.  

                                               

Tài liệu tham khảo:

Thiết diện của khối đa diện

Khối đa diện - các bài toán ôn thi đại học

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...