Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

I. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Có thể đặt tương ứng mỗi khối đa diện \(\left(H\right)\) với một số dương duy nhất \(V_{\left(H\right)}\) thoả mãn các tính chất:

a) Nếu \(\left(H\right)\) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì \(V_{\left(H\right)}=1\).

b) Nếu hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) bằng nhau thì \(V_{\left(H_1\right)}=V_{\left(H_2\right)}\).

c) Nếu khối đa diện \(\left(H\right)\) được phân chia thành hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) thì \(V_{\left(H\right)}=V_{\left(H_1\right)}+V_{\left(H_2\right)}\).

Số dương \(V_{\left(H\right)}\) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện \(\left(H\right)\).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

Ta chứng minh được rằng: Thể tích khối hộp chữ nhật \(\left(H\right)\) có ba kích thước là những số nguyên dương \(a,b,c\) là \(V_{\left(H\right)}=abc\).

Định lí:

Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), biết \(AC'=a\sqrt{3}\).

Giải:

Dễ thấy \(AC'\) là đường chéo của khối lập phương. Nếu gọi cạnh của hình lập phương là \(x\) thì ta có:

\(AC'^2=AA'^2+A'C'^2=AA'^2+A'B'^2+B'C'^2=3x^2\)

Suy ra \(x=\dfrac{AC'}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\). Do đó \(ABCD.A'B'C'D'\) là khối lập phương cạnh \(a\)

Thể tích khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là: \(V=a^3\).

II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là

                                    \(V=Bh\).

Ví dụ 2: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).

Giải:

Do đáy của hình lăng trụ là tam giác đều cạnh \(a\) nên ta có diện tích đáy là \(B=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Mặt khác do lăng trụ có tất cả các cạnh bằng \(a\) nên chiều cao lăng trụ bằng \(a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ đó là: \(V=Bh=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}\).

III. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là

                                   \(V=\dfrac{1}{3}Bh\).

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AA',BB'\). Đường thẳng \(CE\) cắt đường thẳng \(C'A'\) tại \(E'\). Đường thẳng \(CF\) cắt đường thẳng \(C'B'\) tại \(F'\). Gọi \(V\) là thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

a) Tính thể tích khối chóp \(C.ABFE\) theo \(V\) ;

b) Gọi khối đa diện \(\left(H\right)\) là phần còn lại của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) sau khi cắt bỏ đi khối chóp \(C.ABFE\). Tính tỉ số thể tích khối đa diện \(\left(H\right)\) và của khối chóp \(C.C'E'F'\),

Giải:

a) Hình chóp \(C.A'B'C'\) và hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy và đường cao bằng nhau nên \(V_{C.A'B'C'}=\dfrac{1}{3}V\). Từ đó suy ra \(V_{C.ABB'A'}=V-\dfrac{1}{3}V=\dfrac{2}{3}V\).

Do \(EF\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABB'A'\) nên diện tích \(ABFE\) bằng nửa diện tích \(ABB'A'\). Do đó \(V_{C.ABFE}=\dfrac{1}{2}V_{C.ABB'A'}=\dfrac{1}{3}V\).

b) Ta có \(V_{\left(H\right)}=V_{ABC.A'B'C'}-V_{C.ABFE}=V-\dfrac{1}{3}V=\dfrac{2}{3}V\).

Vì \(EA'\) song  song và bằng \(\dfrac{1}{2}CC'\) nên \(A'\) là trung điểm của \(E'C'\). Tương tự, \(B'\) lầ trung điểm \(F'C'\). Do đó \(S_{C'E'F'}=4.S_{A'B'C'}\).

Từ đó suy ra \(V_{C.C'E'F'}=4.V_{C.A'B'C'}=4.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{4}{3}V\)

Vậy \(\dfrac{V_{\left(H\right)}}{V_{C.C'E'F'}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}V}{\dfrac{4}{3}V}=\dfrac{1}{2}\).