Phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Tích có hướng của hai vec tơ và vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Tích có hướng: Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) , ta định nghĩa tích có hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)  (kí hiệu là \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\))là một vec tơ xác định như sau:

     \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{matrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{matrix}\right|\right)\)

                     \(=\left(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1\right)\)

Nhận xét: 

*) Tích có hướng của hai vec tơ là vec tơ vuông góc với hai vec tơ đó.  Tức là: 

      \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\perp\overrightarrow{a}\)  và \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\perp\overrightarrow{b}\)

> > ^ [a, b] a b > > O A B D

*) Độ dài tích có hướng của hai vec tơ bằng diện tích hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp tạo bởi hai vec tơ đó, tức là:

      \(\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\right|=S_{OADB}\) (xem hình vẽ)

- Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P), nếu vec tơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vec tơ pháp tuyến của (P).

Nhận xét: Vec tơ \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow{a}\)  , \(\overrightarrow{b}\) mà có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow{n}\) là vec tơ pháp tuyến của (P).

2. Phương trình của mặt phẳng

a) Mặt phẳng (P) đi qua \(M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)\) có phương trình là:

     \(a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0\)

Thật vậy: Lấy \(M\in\left(P\right)\), vì \(M,M_0\in\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{MM_0}\)

     \(\Rightarrow\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MM_0}=0\)

    \(\Rightarrow a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0\)  

b) Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn phương trình \(ax+by+cz+d=0\) (trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

c) Mặt phẳng $(P)$ có 2 véc tơ chỉ phương (VTCP) là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thì nó có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]$.

d) Mặt phẳng $(P)$ qua 3 điểm $A,B,C$ thì nó nhận $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ làm VTCP. Điều đó có nghĩa là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$ là VTPT của $(P)$.

e) Phương trình đoạn chắn: Nếu mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại\\ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ thì phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

    $(ABC):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

  (Dễ dàng kiểm tra mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C bằng cách cho 2 tọa độ bằng 0 trong phương trình trên.)

f) Phương trình chùm mặt phẳng: Nếu $(P):ax+by+cz+d=0$ và $(Q):a'x+b'y+c'z+d'=0$ thì phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có dạng

    $(\alpha):m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0\quad (m^2+n^2>0)$

    $m,n$ có thể được chọn qua tỉ số $\dfrac{m}{n}$.

--------------

CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho $A(-1;2;3),B(2;-4;3),C(4;5;6)$.

- Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với BC.

- Tính diện tích tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng qua A,B,C.

Giải

- Mặt phẳng (P) cần tìm qua A(-1;2;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}(2;9;3)\) làm VTPT nên (P) có phương trình (P): 2(x+1)+9(y-2)+3(z-3)=0. Vậy (P):2x+9y+3z-25=0.

- Diện tích tam giác ABC xác định bởi $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|$. Ta có

 \(\overrightarrow{AB}(3;-6;0),\overrightarrow{AC}(5;3;3)\)\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-6&0\\3&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&3\\3&5\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&-6\\5&3\end{matrix}\right|\right)=\left(-18;-9;39\right)\)

Vậy \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{18^2+9^2+39^2}=\)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

Giải

Gọi giao điểm của (P) với các trục tọa độ là A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c). Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ

\(\begin{cases}x_G=\frac{a}{3}=1\\y_G=\frac{b}{3}=2\\z_G=\frac{c}{3}=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=3\\b=6\\c=9\end{cases}\)..

Vậy A(3;0;0),B(0;6;0), C(0;0;9). Do đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn là \(\left(P\right):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\)

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(4;-2;1),B(1;1;-2) và song song với trục Ox.

Giải

Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B nên nhận \(\overrightarrow{AB}\left(-3;3;-3\right)\)làm VTCP.

Mặt phẳng (P) song song với trục Ox nên nhận \(\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right)\) làm VTCP.

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{i}\right]=\left(\left|\begin{matrix}3&-3\\0&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&-3\\0&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-3&3\\1&0\end{matrix}\right|\right)=\left(0;-3;-3\right)=-3\left(0;1;1\right)\)

Do (P) đi qua A(4;-2;1) nên (P) có phương trình (P): 0(x-4)+1.(y+2)+1.(z-1)=0 hay (P):y+z+1=0

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M(3;4;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):19x-6y-4z+27=0$ và $(Q): 42x-8y+3z+11=0$.

Giải

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua giao tuyến của (P) và (Q) nên có phương trình dạng

\(m\left(19x-6y-4z+27\right)+n\left(42x-8y+3z+11\right)=0\) với \(m^2+n^2>0\)

Do $(\alpha)$ đi qua M(3;4;1) nên 56m+108n=0, suy ra \(\frac{m}{n}=-\frac{27}{14}\).

Chọn m=27, n=-14 thì

\(\left(\alpha\right):27\left(19x-6y-4z+27\right)-14\left(42x-8y+3z+11\right)=0\Leftrightarrow-75x-50y-150z+575=0\)

Vậy \(\left(\alpha\right):3x+2y+6z-23=0\)

 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng, các dạng toán liên quan

Hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian, lý thuyết cơ bản

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...