Phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu.

• Dạng 1 : \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2\left(R>0\right)\). Có tâm I (a; b; c) và bán kính \(R=\sqrt{R^2}\)

• Dạng 2 : \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0;\left(a^2+b^2+c^2>d\right)\) . Có tâm I (a; b; c) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\)

2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P), ta có :

• d(I,(P)) > R : Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).

• d(I,(P)) = R : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

• d(I,(P)) < R : Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,\left(P\right)\right)}\)

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d, ta có :

• d(I, d) > R : Đường thẳng d không cắt mặt cầu (S).

• d(I, d) = R : Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S).

• d(I, d) < R : Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo dây cung \(AB=\sqrt{R^2-d^2\left(I,\left(P\right)\right)}\)

4. Các dạng toán cơ bản

Loại 1 : Các bài toán viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1 : Cho 3 điểm \(A\left(2;0;1\right);B\left(1;0;0\right);C\left(1;1;1\right)\) và mặt phẳng (P) : \(x+y+z-2=0\). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tâm thuộc (P)

Bài giải :

Phương trình tổng quát của mặt cầu qua A, B là :

\(\left(\varphi\right)x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) với \(a^2+b^2+c^2>d\) (1)

Khi đó \(\left(\varphi\right)\) có tâm là \(I\left(-a;-b;-c\right)\)

Từ đó ta đi đến hệ phương trình sau để xác định a, b, c, d :

\(\begin{cases}4+1+4a+2c+d=0\left(2\right)\\1+2a+d=0\left(3\right)\\3+2a+2b+2c+d=0\left(4\right)\\-a-b-c-2=0\left(5\right)\end{cases}\)

((2),(3),(4) ta có được do \(\left(\varphi\right)\) qua A, B, C ; còn (5) có được do tâm \(I\left(-a;-b;-c\right)\in\left(P\right)\)

Dễ thấy hệ (2),(3),(4), (5) cho nghiệm a = -1; b = 0; c = -1; d = 1

Vậy mặt cầu  \(\left(\varphi\right)\)  cần tìm có phương trình :\(x^2+y^2+z^2+1=0\)

                                                                  \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2+\left(x-1\right)^2=1\)

Đó là mặt cầu tâm tại I(1;0;1) và bán kính R = 1

Ví dụ 2 :

Trong không gian cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A_1B_1C_1D_1\) với A(0;3;0); B(4;0;0);C(0;3;0); \(B_1\left(4;0;4\right)\)

a) Tìm tọa độ các đỉnh \(A_1;C_1\)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng \(BCC_1B_1\)

Bài giải :

A1 B1 C1 A B C x 4 y z

a) Dễ thấy \(A_1=\left(0;-3;4\right);C_1=\left(0;3;4\right)\)

b) Xét mặt phẳng \(\left(BCC_1B_1\right)\), ta có :

\(\overrightarrow{BC}=\left(-4;3;0\right);\overrightarrow{BB_1}=\left(0;0;4\right)\)

Vậy vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left(BCC_1B_1\right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BB_1}\right]\)

                                                                                                \(=\left(\left|\begin{matrix}3&0\\0&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&-4\\4&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-4&3\\0&0\end{matrix}\right|\right)\)

                                                                                                \(=\left(12;16;0\right)\)

Cùng phương với vectơ (3;4;0)

Vậy mặt phẳng  \(\left(BCC_1B_1\right)\)  có phương trình : 

\(3\left(x-4\right)+4\left(y-0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x+4y-12=0\)

Khoảng cách h từ A xuống  \(\left(BCC_1B_1\right)\) là :

\(h=\frac{\left|3.0+4\left(-3\right)-12\right|}{5}=\frac{24}{5}\)

Đó chính là bán kính R của hình cầu \(\left(\varphi\right)\) có tâm A và tiếp xúc với  \(\left(BCC_1B_1\right)\) 

Vậy mặt cầu  \(\left(\varphi\right)\) cần tìm có phương trình :

\(x^2+\left(y+3\right)^2+z^2=\frac{576}{25}\)

Ví dụ 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(3;3;0);B(3;0;3);C(0;3;3);D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài giải :

a) Xét hình lập phương \(B'OC'A.BO'CD\)  O' H' B D C B' H O A C' y x z

 
 

 

 
 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu và các dạng toán liên quan

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...