Phương trình đối xứng theo sin và cos, tang và cotang

I. Dạng và cách giải:

 - Phương trình đối xứng đối với sin và cos :        \(a\left(\sin x\pm\cos x\right)+b\sin x\cos x=c\)

    + Đặt \(\sin x\pm\cos x=t\), điều kiện \(\left|t\right|\le\sqrt{2}\),

    + Bình phương hai vế, thay \(\sin^2x+\cos^2x=1\), rồi rút  \(\sin x\cos x=\pm\frac{\left(t^2-1\right)}{2}\)

    + Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

     + Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos :   \(\sin x\pm\cos x=t\)

- Phương trình đối xứng đối với tan và cot :  \(a\left(\tan^nx+\cot^nx\right)+b\left(\tan x\pm\cot x\right)=0\)

    Đặt \(t=\tan x-\cot x\) thì \(t\in R\) ; Đặt \(t=\tan x+\cot x\) thì \(\left|t\right|\ge2\) 

   Chuyển về phương trình theo ẩn t.

   Sau khi tìm được t, giải phương trình bậc hai đối tan hoặc cot

II. Ví dụ:

1) Ví dụ 1: Giải phương trình:

     \(-1+\sin^3x+\cos^3x=\frac{3}{2}\sin2x\)

 Giải:

      pt tương đương với:

      \(-1+\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x\right)=\frac{3}{2}.2\sin x\cos x\)

       \(-1+\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)=3\sin x\cos x\) (phương trình đối xứng đối với sin và cos)

      Đặt \(\sin x+\cos x=t\) => \(\left(\sin x+\cos x\right)^2=t^2\) => \(\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=t^2\)

      => \(1+2\sin x\cos x=t^2\) => \(\sin x\cos x=\frac{\left(t^2-1\right)}{2}\)

    phương trình trở thành:

     \(-1+t\left[1-\frac{\left(t^2-1\right)}{2}\right]=3\frac{t^2-1}{2}\)

     \(t^3+3t^2-3t-1=0\)

     \(\left(t^3-1\right)+3t\left(t-1\right)=0\)

      \(\left(t-1\right)\left(t^2+4t+1\right)=0\)

     Từ đây tìm được t, thay vào \(\sin x+\cos x=t\) => \(\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=t\), ta tìm được x

III. Tài liệu tham khảo

Phương trình lượng giác đối xứng đối với sin và cos

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

 Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...