Phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

I. Dạng phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

    Phương trình đẳng cấp bậc 2: \(a.\sin^2x+b.\sin x.\cos x+c.\cos^2x=d\)  (hệ số tự do vế phải có thể khác 0)

   Phương trình đẳng cấp bậc 3: \(a.\sin^3x+b.\sin^2x.\cos x+c.\sin x.\cos^2x+d.\cos^3x=0\) (chú ý hệ số tự do bằng 0)

   Phương trình đẳng cấp bậc 3 mở rộng:

                       \(a.\sin^3x+b.\sin^2x.\cos x+c.\sin x.\cos^2x+d.\cos^3x+\left(m.\sin x+n.\cos x\right)=0\)

II. Phương pháp giải

    - Xét riêng trường hợp \(\cos x=0\), kiểm tra xem có là nghiệm

     - Xét trường hợp \(\cos x\ne0\), chia cả hai vế cho \(\cos^2x\) (đối với đẳng cấp bậc 2) hoặc \(\cos^3x\) (đối với đẳng cấp bậc 3), chuyển về phương trình chỉ có 1 hàm lượng giác (hàm số tan). Chú ý là: \(\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)

III. Các ví dụ:

 1) Ví dụ 1: (Dự bị ĐH-2005A): Giải phương trình:

           \(2\sqrt{2}\cos^3\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-3\cos x-\sin x=0\)

   Giải:

         \(2\sqrt{2}\left(\cos x.\cos\frac{\pi}{4}+\sin x.\sin\frac{\pi}{4}\right)^3-3\cos x-\sin x=0\)

         \(2\sqrt{2}\left(\cos x.\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin x.\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3-3\cos x-\sin x=0\)

         \(2\sqrt{2}\left(\cos x.\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin x.\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3-3\cos x-\sin x=0\)

         \(\cos^3x+3.\cos^2x.\sin x+3.\cos x.\sin^2x+\sin^3x-3\cos x-\sin x=0\) (dạng đẳng cấp bậc 3 mở rộng)

       - Xét \(\cos x=0\) (hay \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)), khi đó \(\sin x=\pm1\), thay vào ta thấy thỏa mãn, vậy \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) là nghiệm.

      - Xét \(\cos x\ne0\), chia cả hai vế cho \(\cos^3x\) ta được:

       \(1+3.\tan x+3.\tan^2x+\tan^3x-3\left(1+\tan^2x\right)-\tan x.\left(1+\tan^2x\right)=0\)

       \(2\tan x-2=0\)

      \(\tan x=1\)

      \(x=\frac{\pi}{4}+m\pi\)

     Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)\(x=\frac{\pi}{4}+m\pi\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

 Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa

Hỏi đáp

Câu 3 (Gửi bởi tu thi dung)
Trả lời
1
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...