Phương trình bậc nhất đối với sin và cos (a sinx + b cosx = c)

I. Dạng phương trình bậc nhất đối với sin và cos:

Dạng 1:             \(a.\sin x+b.\cos x=c\)         (1)

Dạng 2:       \(a.\sin x+b.\cos x=c.\sin u+d.\cos u\) với \(a^2+b^2=c^2+d^2\)    (2)

II. Cách giải

Dạng 1:  

    Chia cả hai vế cho \(\sqrt{a^2+b^2}\) để được:

   (1) <=>     \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

    Lấy góc \(\alpha\) sao cho \(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) , luôn tìm được góc \(\alpha\) do \(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1\)

    Khi đó phương trình có dạng:

        \(\cos\alpha.\sin x+\sin\alpha.\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

     Hay là:

          \(\sin\left(x+\alpha\right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)  (Đây là phương trình lượng giác cơ bản đã có cách giải.)

Dạng 2:

   Chia cả hai vế cho \(\sqrt{a^2+b^2}\left(=\sqrt{c^2+d^2}\right)\) để được:

   (1) <=>     \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.\cos x=\frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}.\sin u+\frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}}.\cos u\)

    Lấy góc \(\alpha\) và \(\beta\) sao cho \(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) , \(\cos\beta=\frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}};\sin\beta=\frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}}\)

    Khi đó phương trình có dạng:

        \(\cos\alpha.\sin x+\sin\alpha.\cos x=\cos\beta.\sin u+\sin\beta.\cos u\)

     Hay là:

          \(\sin\left(x+\alpha\right)=\sin\left(u+\beta\right)\)  (Đây là phương trình lượng giác cơ bản.)

III. Ví dụ

1) Ví dụ 1: (ĐH - 2007D) Giải phương trình

     \(\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3}\cos x=2\)

   Giải

        phương trình tương đương với:

      \(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x=2\)

      \(1+\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\)

     \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\)  (Dạng 1)

     Chia cả hai vế cho \(\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2\) ta có:

     \(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\)

      \(\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\frac{1}{2}\)

      \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{6}\)

      \(x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\)  hoặc \(x+\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)

      \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)   hoặc \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

2) Ví dụ 2: (ĐH-2012B) Giải phương trình:

     \(2\left(\cos x+\sqrt{3}\sin x\right)\cos x=\cos x-\sqrt{3}\sin x+1\)

    Giải: phương trình tương đương với:

     \(2\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=\cos x-\sqrt{3}\sin x+1\)

     \(2\cos^2x+\sqrt{3}\sin2x=\cos x-\sqrt{3}\sin x+1\)

     \(\left(\cos2x+1\right)+\sqrt{3}\sin2x=\cos x-\sqrt{3}\sin x+1\)

     \(\cos2x+\sqrt{3}\sin2x=\cos x-\sqrt{3}\sin x\) (Dạng 2, chia cả hai vế cho 2 )

     \(\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\)

     \(\sin\frac{\pi}{6}.\cos2x+\cos\frac{\pi}{6}.\sin2x=\sin\frac{\pi}{6}.\cos x-\cos\frac{\pi}{6}.\sin x\)

    \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\)

     \(2x+\frac{\pi}{6}=x+\frac{\pi}{6}+2k\pi\)   hoặc \(2x+\frac{\pi}{6}=\pi-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi\)

      \(x=2k\pi\)   hoặc \(x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

 Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa

Hỏi đáp

Câu 1 (Gửi bởi Thảo Nguyễn)
Trả lời
1
Câu 2 (Gửi bởi Thảo Nguyễn)
Trả lời
0
Câu 3 (Gửi bởi Ngo Thi Linh Phuong)
Trả lời
1
Câu 5 (Gửi bởi an hoang)
Trả lời
2
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...