Phương trình bậc hai nghiệm phức

1. Căn bậc hai của số phức.

• Định nghĩa : Số phức \(\omega\) gọi là căn bậc hai của số phức z nếu \(\omega^2=z\)

• Nhận xét :

Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là \(\omega=\pm\sqrt{a}\).

Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là\(\omega=\pm i\sqrt{\left|a\right|}\)|.

Mỗi số phức \(z\ne0\) luôn có hai căn bậc hai.

• Cách tìm : Gọi \(\omega=x+yi\)(x, y ∈ R) ta có \(z=\omega^2=x^2-y^2+2xyi\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{cases}\)

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức  1 - 2i

Giải: Gọi số phức cần tìm là a + bi, (a, b \(\in\mathbb{R}\)), suy ra:

    \(\left(a+bi\right)^2=1-2i\) 

  \(\Leftrightarrow a^2+2abi+b^2i^2=1-2i\)

  \(\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=1-2i\) (chú ý \(i^2=-1\))

  \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\2ab=-2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\ab=-1\end{cases}\)

Thay \(a=-\frac{1}{b}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu ta có:

  \(\frac{1}{b^2}-b^2=1\) => \(b^4+b^2-1=0\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\b^2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) (chú ý: b là số thực)

Với \(b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) =>  \(\left[\begin{array}{nghiempt}b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.\) 

Với \(b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=-\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

Với \(b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

Vậy có hai số phức là căn bậc hai của 1 - 2i là: 
    \(\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\mp\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}i\)    

2. Phương trình bậc hai nghiệm phức.

Cho phương trình bậc hai:

    \(ax^2+bx+c=0\), với a, b, c là các số thực (có thể là số phức) và a khác 0.

• Tính \(\Delta=b^2-4ac\) hoặc \(\Delta'=\left(b'\right)^2-ac\)

• Trường hợp ∆ là số thực :

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \(z=-\frac{b}{2a}\)

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm \(I=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}\)

• Trường hợp ∆ là số phức :

Ta tìm căn bậc hai \(\omega\) của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\omega}{2a}\)

Ví dụ 1:  Giải phương trình hệ số thực sau: 

     \(x^2+x+1=0\)

Giải: \(\Delta=-3\), phương trình có hai nghiệm phức là:

   \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.\)

Ví dụ 2:  Giải phương trình hệ số phức sau:

   \(x^2-2ix+i=0\) 

Giải: \(\Delta'=\left(-i\right)^2-4i=i^2-4i=-1-4i\)

Ta tìm căn bậc hai của \(\Delta'\), giả sử a + bi (với a, b là số thực) là căn bậc hai của \(\Delta'\),

  => \(\left(a+bi\right)^2=-1-4i\)

  => \(a^2-b^2+2abi=-1-4i\)

=> \(\begin{cases}a^2-b^2=-1\\2ab=-4\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=-1\\ab=-2\end{cases}\)

Thay \(b=-\frac{2}{a}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được:

    \(a^2-\frac{4}{b^2}=-1\)  \(\Rightarrow a^4+a^2-4=0\)  \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\a^2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) chú ý \(a\in\mathbb{R}\)

=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\\a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.\)

Với \(a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=-2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=-2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)

Với \(a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)

Vậy căn bậc hai của \(\Delta'\) là hai số phức sau:

   \(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)

  \(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)

Nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là:

   \(i+\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\) ;    \(i-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số phức: 4 dạng toán trong đề thi đại học

Các bài toán số phức trong các đề thi đại học, có hướng dẫn giải

chuyên đề số phức lớp 12

BAI TAP SO PHUC CO LOI GIAI

 

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...