Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ε N* 

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

- Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.

- Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

- Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

- Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

- Dự đoán kết quả và chứng minh. 

Ví dụ 1 : 

Chứng minh rằng với \(n\varepsilon N^{\cdot}\), ta có đẳng thức :

\(2+5+8+...+3n-1=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

Bài giải :

Với n=1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng \(\frac{1\left(3.1+1\right)}{2}=2\)

Vậy hệ thức đúng với n=1

Đặt vế trái bằng \(S_n\)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge1\) tức là\(S_k=2+5+8+...+3k-1=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}\) , ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), nghĩa là phải chứng minh :

                                          \(S_{k+1}=2+5+8+...+\left(3\left(k+1\right)-1\right)=\frac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có \(S_{k+1}=S_k+3k+2=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2\)

                                                                      \(=\frac{3k^2+k+6k+4}{2}=\frac{3\left(k^2+2k+1\right)+k+1}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

Vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức trên đúng với mọi n \(\varepsilon\)N*

Ví dụ 2 :

Chứng minh rằng với mọi n \(\varepsilon\)N* ta luôn có : 

\(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3

Bài giải :

Đặt \(S_n=n^3+3n^2+5n\)

Với n=1 thì \(S_1=9\) chia hết cho 3

Giả sử với \(n=k\ge1\) , ta có \(S_k=\left(k^3+3k^2+5k\right)\) chia hết cho 3

Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Thật vậy \(S_{k+1}=\left(k+1\right)^3+3\left(k+1\right)^2+5\left(k+1\right)\)

                         \(=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5\)  

                        \(=k^3+3k^2+5k+3k^2+9k+9\)

hay \(S_{k+1}=S_k+3\left(k^2+3k+3\right)\)

Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\) chia hết cho 3, mặt khác \(3\left(k^2+3k+3\right)\) chia hết cho 3 nên \(S_{k+1}\) chia hết cho 3

Vậy : mọi n \(\varepsilon\)N* ta luôn có : 

\(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3

Ví dụ 3 :

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge2\) ta  bất đẳng thức : \(3^n>3n+1\)

Bài giải :

Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n=2. Giả sử bất đẳng thức đúng với  \(n=k\ge2\) tức là \(3^k>3k+1\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức với 3, ta được : \(3^{k+1}>9k+3\Leftrightarrow3^{k+1}>3k+4+6k-1\)

Vì \(6k-1>0\) nên \(3^{k+1}>3k+4\) hay \(3^{k+1}>3\left(k+1\right)+1\)

tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1

Vậy \(3^n>3n+1\) với mọi số tự nhiên \(n\ge2\)

Ví dụ 4 : Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) với mọi n \(\varepsilon\)N*

a. Tính \(S_1,S_2,S_3\)

b. Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp

Bài giải :

a. Ta có \(S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)

              \(S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\)

             \(S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\)

b. Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\frac{n}{n+1}\left(1\right)\)với mọi n \(\varepsilon\)N*

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp. Khi n=1, vế trái là \(S_1=\frac{1}{2}\), vế phải là \(\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\) vậy đẳng thức (1) đúng

Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n\ge1\), tức là \(S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1, nghĩa là phải chứng minh \(S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}\)

Ta có \(S_{k+1}=S_k+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}=\frac{k+1}{k+2}\)

Tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n=k+1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Qui nạp toán học, dãy số

Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

 

 

Hỏi đáp

Câu 1 (Gửi bởi không nói hahahahahha )
Trả lời
5
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...