Nhị thức Niu-tơn

NHỊ THỨC NIU-TƠN

1) Công thức nhị thức Niu-tơn

Định lý: 

 \(\left(a+b\right)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+...+C^k_na^{n-k}b^k+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_bb^n\)       (1)

Định lý này ta thừa nhận (không chứng minh trong chương trình Toán phổ thông).

Công thức nhị thức Niu-tơn ở trên có thể viết gọn lại thành

       (x+a)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{(n-k)}a^k

với:

     \(\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)=C^k_n=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\)

Chú ý rằng:

  - Lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 (x^0=1), giá trị bắt đầu là n (n trong (x+y)^n.)

  - Lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 (y^0=1) cho tới khi đạt đến n (n trong (x+y)^n.)

  - Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)

  - Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng 2^n.

  - Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng n+1.

Ví dụ:  

     \(\left(a+b\right)^2=C^0_2a^2+C^1_2a.b+C^2_2b^2=a^2+2ab+b^2\)

     \(\left(a+b\right)^3=C^0_3a^3+C^1_3a^2b+C^2_3ab^2+C^3_3b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

2) Tam giác Pa-xcan

Trong nhị thức Niu-tơn (1) ở trên, cho n = 0; 1; 2; ... và xếp các hệ số \(C^k_n\) thành dòng, ta nhận được tam giác sau (còn gọi là tam giác Pa-xcan)

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 1 2 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1

Trong tam giác trên, mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tổng của hai phần tử đứng ngay trên đầu nó ở dòng trên, ví dụ dòng ứng với n = 5, số 10 trong dòng này bằng tổng của 2 số 4 và 6 ở dòng n = 4. Ta có cách làm này là do tính chất sau:

     \(C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C^k_{n-1}\)

Nhờ tam giác Pa-xcan mà ta có thể triển khai lũy thừa bậc n của tổng hai số một cách dễ dàng mà không cần phải tính \(C^k_n\). Ví dụ:

   \(\left(a+b\right)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\)

Chú ý:

- Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

\begin{align}
(x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\
&= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}

- Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối, ví dụ:

    \(\left(a-b\right)^3=\left[a+\left(-b\right)\right]^3=a^3+3a^2\left(-b\right)+3a\left(-b\right)^2+\left(-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

- Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức: Nếu r là một số thực và z là một số phức có môđun nhỏ hơn 1 thì:

     (1+z)^r = \sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k}z^k

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Nhị thức Newton, các dạng toán thi đại học

Các dạng toán về Tổ hợp và xác suất

Hỏi đáp

Câu 4 (Gửi bởi Du Nguyễn)
Trả lời
0
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...