Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM

I. Nguyên hàm và tính chất

1) Nguyên hàm là gì?

Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập K. Hàm F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của nó F'(x) bằng f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ:

 - Hàm F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 - Hàm \(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=x^2\) trên tập số thực R, vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 - Hàm \(F\left(x\right)=\ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\), vì \(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

Họ nguyên hàm:

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (với C là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (với C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu:

          \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\)

Chú ý: Biểu thức \(f\left(x\right)\text{dx}\) chính là vi phân của F(x)vì \(\text{d}F\left(x\right)=F'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)\text{dx}\).

2) Tính chất của nguyên hàm

TC1:      \(\int f'\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)+C\)

     Ví dụ; \(\int\left(\cos x\right)'\text{dx}=\int\left(-\sin x\right)\text{dx}=\cos x+C\)

TC2:     \(\int k.f\left(x\right)\text{dx}=k\int f\left(x\right)\text{dx}\)     với k là một hằng số khác 0

TC3:    \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int f\left(x\right)\text{dx}+\int g\left(x\right)\text{dx}\)

TC4: Mọi hàm số f(x) mà liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

$$\boxed{F'(x)=f(x)\Rightarrow \int f(x)dx=F(x)+C}$$

Bảng nguyên hàm - tích phân cơ bản

1. $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^n}dx=\int x^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{x^m}dx=\int x^{m/n}dx$
  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^m}}dx=\int x^{-m/n}dx$

1. $\displaystyle\int  (ax+b)^\alpha dx=\dfrac{1}{a}.\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}dx=\int (ax+b)^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{(ax+b)^m}dx=\int (ax+b)^{m/n}dx$
  • $ \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{(ax+b)^m}}dx=\int (ax+b)^{-m/n}dx$
2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ 2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}.\ln |ax+b|+C$
3. $\displaystyle\int \alpha^xdx=\dfrac{\alpha^x}{\ln \alpha}+C$ 3. $\displaystyle\int \alpha^{ax+b}dx=\dfrac{\alpha^{ax+b}}{\ln \alpha}+C$
4. $\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C$ 4. $\displaystyle\int \sin (ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C$
5. $\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C$ 5. $\displaystyle\int \cos (ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C$
6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$ 6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 (ax+b)}dx=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C$
7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$ 7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 (ax+b)}dx=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C$

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{x}-x^2}{x}dx$.

ĐS: $I=3\sqrt[3]{x}-\dfrac{x^2}{2}+C$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{2x^2+x+3}{2x+1}dx$.

ĐS: $I=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\ln |2x+1|+C$

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int (3\cos x-3^{x-1})dx$.

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x.\cos 3xdx$.
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \tan^2 xdx$.

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Hỏi đáp

Câu 3 (Gửi bởi Tuấn Đỗ)
Trả lời
1
Câu 5 (Gửi bởi srah)
Trả lời
1
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...