Hệ phương trình đối xứng

I. Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng:

     Hệ phương trình đối xứng là hệ mà khi thay x bởi y vày bởi x thì hệ không thay đổi.

II. Phương pháp giải:

    - Đặt \(\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}\)      (điều kiện \(S^2\ge4P\))

    - Đưa hệ về ẩn S và P, tìm S và P

    - x và y là nghiệm của phương trình: \(x^2-Sx+P=0\)

III. Các ví dụ:

1) Ví dụ 1: Giải hệ \(\begin{cases}x+y=1-2xy\\x^2+y^2=1\end{cases}\)

             Đây là hệ đối xứng đối với x và y.

              Đặt \(x+y=S\)\(xy=P\), (điều kiện \(S^2\ge4P\)), ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=S^2-2P\)

            Hệ đã cho trở thành: \(\begin{cases}S=1-2P\\S^2-2P=1\end{cases}\) 

            Thế S từ phương trình trên vào phương trình dưới ta được phương trình chỉ có nghiệm P:

                \(\left(1-2P\right)^2-2P=1\), hay là: \(4p^2-6P=0\), suy ra P = 0 hoặc P = 3/2

         +) Với P = 0, suy ra S = 1 - 2P = 1, vậy x + y = 1, xy =0, hệ có nghiệm: \(\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)

         +) Với P = 3/2, suy ra S = 1 - 2P = -2, không thỏa mã điệu kiện \(S^2\ge4P\)

         Kết luận: Nghiệm của hệ là (1,0) và (0,1).

2) Ví dụ 2: Giải hệ: \(\begin{cases}x^2+y^2-x+y=2\\xy+x-y=-1\end{cases}\)

              Nếu đặt u = -x thì hệ sẽ đối xứng đối với y và u: \(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\-uy-\left(u+y\right)=-1\end{cases}\)

             Đặt S = u + y và P = uy, đưa về hệ: \(\begin{cases}S^2-2P+S=2\\-P-S=-1\end{cases}\)

             Rút P từ phương trình dưới, thay vào phương trình đầu để tìm S. Sau đó tìm được P , sau đó tìm y, u và cuối cùng lấy x = -u.

            Các nghiệm là: \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) ; \(\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}\)

IV. Tài liệu tham khảo

Phương trình lượng giác đối xứng đối với sin và cos

phương pháp giải hệ phương trình

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...