Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

I. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

Ví dụ: \(y=\left(\sqrt{3}\right)^x\) là hàm số mũ cơ số \(\sqrt{3}\).

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: \(\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{e^t-1}{t}=1\)

Định lí 1:

Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và 

       \(\left(e^x\right)'=e^x\).

Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số \(e^u\left(u=u\left(x\right)\right)\) là \(\left(e^u\right)'=u'.e^u\).

Định lí 2:

Hàm số \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và

        \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(a^{u\left(x\right)}\) ta có: \(\left(a^{u\left(x\right)}\right)'=a^u\ln a.u'\).

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=8^{x^2+x+1}\).

Giải:

Ta có: \(y'=\left(8^{x^2+x+1}\right)'=8^{x^2+x+1}.\ln8.\left(x^2+x+1\right)'=8^{x^2+x+1}\left(2x+1\right)\ln8\).

3. Khảo sát hàm số mũ \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\)

\(y=a^x,a>1\)\(y=a^x,0< a< 1\)

1. Tập xác định: \(R\).

2. Sự biến thiên:

    \(y'=a^x\ln a>0,\forall x\)

   Giới hạn đặc biệt:

   \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=0,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty\)

  Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị:

Đồ thị đi qua điểm \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;a\right)\), nằm phía trên trục hoành.

1. Tập xác định: \(R\).

2. Sự biến thiên:

     \(y'=a^x\ln a< 0,\forall x\)

    Giới hạn đặc biệt:

    \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=0\)

  Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị:

Đồ thị đi qua điểm \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;a\right)\), nằm phía trên trục hoành.

 

@29548@

II. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a\).

Ví dụ: Các hàm số \(y=\log_3x,y=\log_{\dfrac{1}{4}}x,y=\ln x,y=\log x\) là các hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là \(3,\dfrac{1}{4},e,10\).

2. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Định lí 3:

Hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x>0\) và

               \(\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\).

Đặc biệt: \(\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(\log_au\left(x\right)\) ta có: \(\left(\log_au\left(x\right)\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\).

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log_2\left(2x+1\right)\).

Giải:

Ta có \(y'=\left(\log_2\left(2x+1\right)\right)'=\dfrac{\left(2x+1\right)'}{\left(2x+1\right)\ln2}=\dfrac{2}{\left(2x+1\right)\ln2}\).

 

@54815@

3. Khảo sát hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\)

\(y=\log_ax\)\(a>1\)\(y=\log_ax\)\(0< a< 1\)

1. Tập xác định: \(\left(0;+\infty\right)\).

2. Sự biến thiên:

    \(y'=\dfrac{1}{x\ln a}>0,\forall x>0\)

   Giới hạn  đặc biệt:

      \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\log_ax=-\infty\) ;

      \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\log_ax=+\infty\)

   Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị:

Đồ thị đi qua các điểm \(\left(1;0\right)\) và \(\left(a;1\right)\), nằm phía bên phải trục tung.

1. Tập xác định: \(\left(0;+\infty\right)\).

2. Sự biến thiên:

    \(y'=\dfrac{1}{x\ln a}< 0,\forall x>0\)

   Giới hạn đặc biệt:

      \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\log_ax=+\infty\) ;

      \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\log_ax=-\infty\)

   Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng 

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị:

Đồ thị đi qua các điểm \(\left(1;0\right)\) và \(\left(a;1\right)\), nằm phía bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số \(y=a^x\) và \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).

@42104@