Hàm số logarit

HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm logarit :

Cho hai số dương a, b (với \(a\ne1\)), lô-ga-rít cơ số a của b (kí hiệu là \(log_ab\)) là một số x sao cho \(a^x=b\).

    \(log_ab=x\Leftrightarrow a^x=b\)

Ví dụ:   \(log_28=3\) (vì \(2^3=8\) )

            \(log_{\frac{1}{3}}9=-2\) (vì \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=9\)

           \(log_3\frac{1}{27}=-3\) (vì \(3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\))

2. Tính chất logarit

a) \(log_a1=0;a\ne1\)  (vì \(a^0=1\))

b) \(log_aa=1;a\ne1\)

c) \(a^{log_ab}=b\) với \(a>0,a\ne1,b>0\)

      Chứng minh: theo đinh nghĩa, nếu đặt \(log_ab=x\Rightarrow a^x=b\)

      Vậy ta có: \(b=a^x=a^{log_ab}\)

d) logarit của tích bằng tổng các logarit:

     \(log_a\left(b.c\right)=log_ab+log_ac\)

    (Với a, b, c dương và \(a\ne1\) )

e) logarit của thương bằng hiệu các logarit

     \(log_a\left(\frac{b}{c}\right)=log_ab-log_ac\)

   (Với a, b, c dương và \(a\ne1;c\ne0\) )

e) Logarit của lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

   \(log_ab^k=k.log_ab\)  (với a, b dương, \(a\ne1\) và với mọi số thực k)

   \(log_a\sqrt[n]{b}=log_ab^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}log_ab\)

3.Qui tắc đổi cơ số của logarit

Đổi log cơ số a sang log cơ số c như sau:

Cho a, b, c dương và \(a\ne1,c\ne1\), ta có:

    \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)

Đặc biệt: 

    \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)  (với a, b dương và khác 1)

    \(log_ab=log_ac.log_cb\)  (với a, b, c dương, a và c khác 1)

   \(log_ab=log_ax_1.log_{x_1}x_2...log_{x_{n-1}}x_n.log_{x_n}b\) (với b dương, a, x1, ..., xn dương khác 1)

    \(log_{a^k}b=\frac{1}{k}log_ab\)  (với a, b dương, a khác 1, k khác 0)

4. Logarit thập phân, logarit tự nhiên

a) Logarit thập phân là logarit cơ số 10 (\(log_{10}b\)) và được viết tắt là \(logb\) 

b) Logarit tự nhiên là logarit cơ số e (\(log_eb\)) và viết tắt là \(lnb\), với e là 

  \(e=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)

5. Hàm số logarit

a) Dạng hàm số logarit : 

     \(y=\log_{\alpha}x\)  với \(0< \alpha\ne1\)

Ví dụ : \(y=\log_2x;y=\log_{\frac{1}{2}}x,\)

b) Đạo hàm của hàm logarit 

   Hàm số  \(y=\log_{\alpha}x\)  có đạo hàm tại mọi x>0 và \(y'=\left(\log_{\alpha}x\right)'=\frac{1}{x\ln\alpha}\)

   Đối với hàm số hợp, ta có :

   \(y'=\left(\log_{\alpha}u\right)'=\frac{u'}{u\ln\alpha}\)

c) Khảo sát hàm logarit:

Tách 2 trường hợp: \(\alpha>1\) và \(0< \alpha< 1\).

  \(y=log_{\alpha}x\)  (\(\alpha>1\)) \(y=log_{\alpha}x\)  (\(0< \alpha< 1\))
Tập xác định

\(\left(0;+\infty\right)\)

\(\left(0;+\infty\right)\)

Sự biến thiên

\(y'=\frac{1}{x\ln\alpha}>0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}log_{\alpha}x=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}log_{\alpha}x=+\infty\)

Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng

\(y'=\frac{1}{x\ln\alpha}< 0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

 \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}log_{\alpha}x=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}log_{\alpha}x=-\infty\)

Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng

Bảng biến thiên x y' y 0 + + + > x y' y 0 + > +
Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua (1;0)

Đồ thị luôn đi qua (1;0)

Chú ý: Đồ thị hàm số \(y=\log_{\alpha}x\) và đồ thị hàm số \(y=\alpha^x\) đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba (tức là đối xúng nhau qua đường thẳng y = x).

6. Ví dụ áp dụng

a) Tính

  +) \(3^{2log_35}\)

  +) \(4^{log_2\frac{1}{7}}.\left(\frac{1}{25}\right)^{log_5\frac{1}{3}}\)

  +) \(log_{\frac{1}{3}}7+2log_949-log_{\sqrt{3}}\frac{1}{7}\)

Giải:

  +) \(3^{2log_35}=3^{log_35^2}=5^2=25\)

  +) \(4^{log_2\frac{1}{7}}.\left(\frac{1}{25}\right)^{log_5\frac{1}{3}}=2^{2.log_2\frac{1}{7}}.5^{-2.log_5\frac{1}{3}}=2^{log_2\left(\frac{1}{7}\right)^2}.5^{log_5\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}}\)

                                   \(=\left(\frac{1}{7}\right)^2.\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{49}.9=\frac{9}{49}\)

   +) \(log_{\frac{1}{3}}7+2log_949-log_{\sqrt{3}}\frac{1}{7}\)

      \(=log_{3^{-1}}7+2log_{3^2}7^2-log_{3^{\frac{1}{2}}}7^{-1}\)

      \(=\frac{1}{-1}log_37+\frac{2.2}{2}log_37-\frac{\left(-1\right)}{\frac{1}{2}}log_37\)

      \(=-log_37+2log_37+2log_37=3log_37\)
 
b) Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số:

 \(y=\log_2\left(2x-1\right)\Rightarrow y'=\frac{\left(2x-1\right)'}{\left(2x-1\right).\ln2}=\frac{2}{\left(2x-1\right).\ln2}\)

 \(y=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\Rightarrow y'=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\Rightarrow y'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

 

7. Tài liệu tham khảo

Hàm số mũ và hàm số logarit

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...